https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Κεφάλαιο 9. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής, συνδυαστική και θεωρία πιθανοτήτων §54. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους 3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.

Περιεχόμενα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή ... Λύση 5α); Λύση 5β); Λύση 5γ); Λύση 5δ). Σημειώστε ότι ... Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων είναι σημαντικό να γνωρίζετε ... Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις ... ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). Λύση 6 α); Λύση 6 β); Λύση 6 γ); Λύση 6 δ). Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει ... ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Για μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων ... Για τον δάσκαλο. Πηγές. 02/08/2014 2

3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ. Μέρος 3. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα χτυπήματος στόχου με μία βολή Ας αλλάξουμε ελαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα: αντί για δύο διαφορετικούς σκοπευτές, ο ίδιος σκοπευτής θα πυροβολήσει στον στόχο. Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές. β) δεν θα εκπλαγείτε. γ) θα χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά. δ) θα χτυπηθεί ακριβώς μία φορά. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 4

Λύση του παραδείγματος 5α) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 5

Λύση του Παραδείγματος 5β) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: β) να μην χτυπηθεί. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 6

Λύση του παραδείγματος 5γ) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: γ) να χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 7

Λύση του παραδείγματος 5δ) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: δ) να χτυπηθεί ακριβώς μία φορά. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 8

Σημείωση Η λύση που δίνεται στο σημείο δ) του Παραδείγματος 5, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, επαναλαμβάνει την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος Bernoulli, που αναφέρεται σε ένα από τα πιο κοινά πιθανοτικά μοντέλα: ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο πιθανά αποτελέσματα. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα πολλών πιθανολογικών προβλημάτων είναι ότι το τεστ, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορεί να συμβεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει, μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 9

Σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε Σε κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις, μας ενδιαφέρει το ερώτημα εάν θα συμβεί αυτό το γεγονός ή όχι. Και σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό για εμάς να γνωρίζουμε ακριβώς πόσες φορές μπορεί να συμβεί αυτό το γεγονός ή όχι. Για παράδειγμα, ένα ζάρι πετάχτηκε δέκα φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα να πέσει το «τέσσερα» ακριβώς 3 φορές; 10 πυροβολισμοί. ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς 8 χτυπήματα στον στόχο; Ή, ποια είναι η πιθανότητα ότι με πέντε ρίψεις νομισμάτων, ακριβώς 4 φορές θα βγουν ψηλά; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 10

Ο Jacob Bernoulli συνδυάζει παραδείγματα και ερωτήσεις Ένας Ελβετός μαθηματικός των αρχών του 18ου αιώνα, ο Jacob Bernoulli, συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις αυτού του τύπου σε ένα ενιαίο πιθανολογικό σχήμα. Έστω η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος Α κατά τη διάρκεια κάποιας δοκιμής ίση με P (A). Θα θεωρήσουμε αυτό το τεστ ως ένα τεστ με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα: το ένα αποτέλεσμα είναι ότι το γεγονός Α θα συμβεί και το άλλο αποτέλεσμα είναι ότι το γεγονός Α δεν θα συμβεί, δηλαδή το γεγονός Ᾱ θα συμβεί. Για συντομία, ας ονομάσουμε το πρώτο αποτέλεσμα (την έναρξη του συμβάντος Α) «επιτυχία», και το δεύτερο αποτέλεσμα (την έναρξη του συμβάντος Ᾱ) «αποτυχία». Η πιθανότητα P (A) «επιτυχίας» θα συμβολίζεται με p και η πιθανότητα P (Ᾱ) «αποτυχίας» θα συμβολίζεται με q. Επομένως, q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 11

ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli) Θεώρημα 3 (θεώρημα Bernoulli). Έστω P n (k) η πιθανότητα να εμφανιστούν ακριβώς k «επιτυχίες» σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ. Τότε P n (k) = С n k  p k  q n-k, όπου p είναι η πιθανότητα «επιτυχίας» και q = 1 - p είναι η πιθανότητα «αποτυχίας» σε μια ξεχωριστή δοκιμή. Αυτό το θεώρημα (το παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη) έχει μεγάλη σημασία τόσο για τη θεωρία όσο και για την πράξη. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 12

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα στοιχεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). α) Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν ακριβώς 7 «κεφάλια» με 10 ρίψεις νομισμάτων; β) Καθένα από τα 20 άτομα ονομάζει ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. «Κακές» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα η «τύχη» να είναι ακριβώς η μισή; γ) Το ρολό του ζαριού είναι «πετυχημένο» αν το ρολό είναι 5 ή 6 πόντων. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 στις 25 βολές θα είναι «πετυχημένες»; δ) Το τεστ αποτελείται από τη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων ταυτόχρονα. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τύχη» ανάμεσα στις 7 ρίψεις; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 13

Λύση 6α) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα στοιχεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). α) Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν ακριβώς 7 «κεφάλια» με 10 ρίψεις νομισμάτων; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 14

Λύση 6β) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα στοιχεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). β) Καθένα από τα 20 άτομα ονομάζει ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. «Κακές» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα η «τύχη» να είναι ακριβώς η μισή; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 15

Λύση 6γ) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα στοιχεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). γ) Το ρολό του ζαριού είναι «πετυχημένο» αν το ρολό είναι 5 ή 6 πόντων. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 στις 25 βολές θα είναι «πετυχημένες»; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 16

Λύση 6δ) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα στοιχεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). δ) Το τεστ αποτελείται από τη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων ταυτόχρονα. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τύχη» ανάμεσα στις 7 ρίψεις; Λύση: δ) n = 7, k = 3. Η "τύχη" σε μία ρίψη συνίσταται στο γεγονός ότι υπάρχουν λιγότερες "ουρές" από "κεφάλια". Συνολικά είναι δυνατά 8 αποτελέσματα: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "ουρές", O - "κεφάλια"). Στα μισά ακριβώς από αυτά υπάρχουν λιγότερες ουρές: ROO, ORO, OOP, LLC. Επομένως, p = q = 0,5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 17

Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει ... Το θεώρημα Bernoulli σας επιτρέπει να δημιουργήσετε μια σύνδεση μεταξύ της στατιστικής προσέγγισης για τον ορισμό της πιθανότητας και του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος. Για να περιγράψουμε αυτή τη σύνδεση, ας επιστρέψουμε στους όρους της § 50 σχετικά με τη στατιστική επεξεργασία πληροφοριών. Εξετάστε μια σειρά από n ανεξάρτητες επαναλήψεις της ίδιας δοκιμής με δύο αποτελέσματα - τύχη και αποτυχία. Τα αποτελέσματα αυτών των δοκιμών αποτελούν μια σειρά δεδομένων, που αποτελούνται από κάποια σειρά δύο επιλογών: «τύχη» και «αποτυχία». Με απλά λόγια, υπάρχει μια ακολουθία μήκους n, που αποτελείται από δύο γράμματα Y ("τύχη") και H ("κακή τύχη"). Για παράδειγμα, U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U ή H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H, κ.λπ. Ας υπολογίσουμε την πολλαπλότητα και τη συχνότητα των παραλλαγών του Y, δηλαδή θα βρούμε το κλάσμα k / n, όπου k είναι ο αριθμός των "επιτυχιών" που συναντήθηκαν μεταξύ όλων των n επαναλήψεων. Αποδεικνύεται ότι με μια απεριόριστη αύξηση στο n, η συχνότητα k / n της εμφάνισης "επιτυχιών" θα είναι πρακτικά αδιάκριτη από την πιθανότητα p "επιτυχίας" σε μία δοκιμή. Αυτό το αρκετά περίπλοκο μαθηματικό γεγονός προέρχεται ακριβώς από το θεώρημα του Bernoulli. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 18

ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων του ίδιου τεστ, η συχνότητα εμφάνισης ενός τυχαίου γεγονότος Α με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια είναι περίπου ίση με την πιθανότητα του γεγονότος Α: k / n ≈ P (A). Για παράδειγμα, για n> 2000 με πιθανότητα μεγαλύτερη από 99%, μπορεί να υποστηριχθεί ότι το απόλυτο σφάλμα | k / n - P (A) | κατά προσέγγιση ισότητα k / n≈ P (A) θα είναι μικρότερη από 0,03. Επομένως, στις κοινωνιολογικές έρευνες, αρκεί η συνέντευξη από περίπου 2.000 τυχαία επιλεγμένα άτομα (αποκριθέντες). Εάν, για παράδειγμα, 520 από αυτούς απάντησαν θετικά στην ερώτηση που τέθηκε, τότε k / n = 520/2000 = 0,26 και είναι πρακτικά βέβαιο ότι για οποιονδήποτε μεγαλύτερο αριθμό ερωτηθέντων αυτή η συχνότητα θα είναι στην περιοχή από 0,23 έως 0,29. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο της στατιστικής σταθερότητας. Έτσι, το θεώρημα του Bernoulli και οι συνέπειές του επιτρέπουν (περίπου) την εύρεση της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου ο ρητός υπολογισμός του είναι αδύνατος. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 19

Για τη δασκάλα 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 20

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 21

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 22

Πηγές Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, τάξεις 10-11, Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο, 10η έκδ. (Βασικό επίπεδο), A.G. Mordkovich, M., 2009 Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, τάξεις 10-11. (Βασικό επίπεδο) Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δάσκαλο, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Οι πίνακες συντάσσονται σε MS Word και MS Excel. Πηγές Διαδικτύου Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 02/08/2014 23

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Διαφάνεια 1
Κεφάλαιο 9. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής, συνδυαστική και θεωρία πιθανοτήτων
§54. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους 3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.

Διαφάνεια 2
Περιεχόμενο
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μια βολή ... Λύση 5α) Λύση 5β) Λύση 5γ) Λύση 5δ) Σημειώστε ότι ... Σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων είναι σημαντικό να γνωρίζετε ... Jacob Ο Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις ... ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli ).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). Λύση 6a) Λύση 6β). Λύση 6γ), Λύση 6δ). Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει ... ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων ... Για τον δάσκαλο.Πηγές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 3
3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.
Μέρος 3.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 4
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα χτυπήματος στόχου με μία βολή
Ας αλλάξουμε ελαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα: αντί για δύο διαφορετικούς σκοπευτές, ο ίδιος σκοπευτής θα πυροβολήσει στον στόχο Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπήσει έναν στόχο με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο στόχος: α) θα χτυπηθεί τρεις φορές, β) δεν θα χτυπηθεί, γ) θα χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά, δ) θα χτυπηθεί ακριβώς μία φορά.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 5
Λύση του παραδείγματος 5α)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 6
Λύση του παραδείγματος 5β)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα να μην χτυπηθεί ο στόχος: β) Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 7
Παράδειγμα λύσης 5γ)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: γ) να χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 8
Παράδειγμα λύσης 5δ)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μία βολή είναι 0,8. Έγιναν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: δ) να χτυπηθεί ακριβώς μία φορά Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 9
Σημείωση
Η λύση που δίνεται στο σημείο δ) του Παραδείγματος 5, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, επαναλαμβάνει την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος Bernoulli, που αναφέρεται σε ένα από τα πιο κοινά πιθανοτικά μοντέλα: ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο πιθανά αποτελέσματα. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα πολλών πιθανολογικών προβλημάτων είναι ότι το τεστ, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορεί να συμβεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει, μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 10
Κατά τη διάρκεια ολόκληρης της επανάληψης, είναι σημαντικό να γνωρίζετε
Σε κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις, μας ενδιαφέρει το ερώτημα αν θα συμβεί αυτό το γεγονός ή όχι. Και σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό για εμάς να γνωρίζουμε ακριβώς πόσες φορές μπορεί να συμβεί αυτό το γεγονός ή όχι. Για παράδειγμα, ένα ζάρι πετάχτηκε δέκα φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα να πέσει το «τέσσερα» ακριβώς 3 φορές; 10 πυροβολισμοί. ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς 8 χτυπήματα στον στόχο; Ή, ποια είναι η πιθανότητα ότι με πέντε ρίψεις νομισμάτων, ακριβώς 4 φορές θα βγουν ψηλά;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 11
Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις
Ο Jacob Bernoulli, ένας Ελβετός μαθηματικός των αρχών του 18ου αιώνα, συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις αυτού του τύπου σε ένα ενιαίο πιθανολογικό σχήμα: Έστω η πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος Α σε κάποιο τεστ P (A). Θα θεωρήσουμε αυτό το τεστ ως ένα τεστ με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα: το ένα αποτέλεσμα είναι ότι το γεγονός Α θα συμβεί και το άλλο αποτέλεσμα είναι ότι το γεγονός Α δεν θα συμβεί, δηλαδή το γεγονός Ᾱ θα συμβεί. Για συντομία, ας ονομάσουμε το πρώτο αποτέλεσμα (την έναρξη του συμβάντος Α) «επιτυχία», και το δεύτερο αποτέλεσμα (την έναρξη του συμβάντος Ᾱ) «αποτυχία». Η πιθανότητα P (A) «επιτυχίας» θα συμβολίζεται με p και η πιθανότητα P (Ᾱ) «αποτυχίας» θα συμβολίζεται με q. Επομένως, q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 12
ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli)
Θεώρημα 3 (θεώρημα Bernoulli). Έστω Pn (k) η πιθανότητα να εμφανιστούν ακριβώς k «επιτυχίες» σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ. Τότε Pn (k) = Сnk pk qn-k, όπου р είναι η πιθανότητα "επιτυχίας", aq = 1-р είναι η πιθανότητα "αποτυχίας" σε ξεχωριστό τεστ. Αυτό το θεώρημα (το παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη) έχει επίσης μεγάλη σημασία για τη θεωρία και την πράξη.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 13
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια παράσταση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). νομίσματα; β) Καθένα από τα 20 άτομα ονομάζει ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. «Κακές» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει ακριβώς η μισή «τύχη»; Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 πετάξεις από τις 25 θα είναι «επιτυχείς;» Δ) Η δοκιμή αποτελείται από την ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων ταυτόχρονα. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τύχη» ανάμεσα στις 7 ρίψεις;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 14
Λύση 6α)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). νομίσματα; Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 15
Λύση 6β)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). Β) Καθένα από τα 20 άτομα ανεξάρτητα ονομάζει μια από τις ημέρες της εβδομάδας. «Κακές» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει ακριβώς η μισή «τύχη»;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 16
Λύση 6γ)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). Γ) Η ρίψη των ζαριών είναι "επιτυχής "Αν έρθουν 5 ή 6 πόντοι... Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 στις 25 βολές θα είναι «επιτυχείς»;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 17
Λύση 6δ)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). Δ) Η δοκιμή συνίσταται στην ταυτόχρονη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρία «χτυπήματα» μεταξύ 7 βολών; Λύση: δ) n = 7, k = 3. «Τύχη» σε μία ρίψη είναι ότι υπάρχουν λιγότερες «ουρές» από «κεφάλια». Συνολικά είναι δυνατά 8 αποτελέσματα: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "ουρές", O - "κεφάλια"). Στα μισά ακριβώς από αυτά υπάρχουν λιγότερες ουρές: ROO, ORO, OOP, LLC. Επομένως, p = q = 0,5; Р7 (3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 18
Το θεώρημα του Bernoulli επιτρέπει...
Το θεώρημα Bernoulli σάς επιτρέπει να δημιουργήσετε μια σύνδεση μεταξύ της στατιστικής προσέγγισης για τον ορισμό της πιθανότητας και του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος. Για να περιγράψουμε αυτή τη σύνδεση, ας επιστρέψουμε στους όρους της § 50 σχετικά με τη στατιστική επεξεργασία πληροφοριών. Εξετάστε μια σειρά από n ανεξάρτητες επαναλήψεις της ίδιας δοκιμής με δύο αποτελέσματα - τύχη και αποτυχία. Τα αποτελέσματα αυτών των δοκιμών αποτελούν μια σειρά δεδομένων, που αποτελούνται από κάποια σειρά δύο επιλογών: «τύχη» και «αποτυχία». Με απλά λόγια, υπάρχει μια ακολουθία μήκους n, που αποτελείται από δύο γράμματα Y ("τύχη") και H ("κακή τύχη"). Για παράδειγμα, U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U ή H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H, κ.λπ. Ας υπολογίσουμε την πολλαπλότητα και τη συχνότητα των παραλλαγών του Y, δηλαδή θα βρούμε το κλάσμα k / n, όπου k είναι ο αριθμός των "επιτυχιών" που συναντήθηκαν μεταξύ όλων των n επαναλήψεων. Αποδεικνύεται ότι με μια απεριόριστη αύξηση στο n, η συχνότητα k / n της εμφάνισης "επιτυχιών" θα είναι πρακτικά αδιάκριτη από την πιθανότητα p "επιτυχίας" σε μία δοκιμή. Αυτό το αρκετά περίπλοκο μαθηματικό γεγονός προέρχεται ακριβώς από το θεώρημα του Bernoulli.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 19
ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Για μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων
ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων του ίδιου τεστ, η συχνότητα εμφάνισης ενός τυχαίου συμβάντος Α με ολοένα μεγαλύτερη ακρίβεια είναι περίπου ίση με την πιθανότητα του γεγονότος A: k / n≈ P (A). για n> 2000 με πιθανότητα μεγαλύτερη από 99% , μπορεί να υποστηριχθεί ότι το απόλυτο σφάλμα | k / n- P (A) | κατά προσέγγιση ισότητα k / n≈ P (A) θα είναι μικρότερη από 0,03. Επομένως, στις κοινωνιολογικές έρευνες, αρκεί η συνέντευξη από περίπου 2.000 τυχαία επιλεγμένα άτομα (αποκριθέντες). Εάν, για παράδειγμα, 520 από αυτούς απάντησαν θετικά στην ερώτηση που τέθηκε, τότε k / n = 520/2000 = 0,26 και είναι πρακτικά βέβαιο ότι για οποιονδήποτε μεγαλύτερο αριθμό ερωτηθέντων αυτή η συχνότητα θα είναι στην περιοχή από 0,23 έως 0,29. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο της στατιστικής σταθερότητας.Έτσι, το θεώρημα του Bernoulli και οι συνέπειές του επιτρέπουν (περίπου) την εύρεση της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος σε εκείνες τις περιπτώσεις που ο ρητός υπολογισμός του είναι αδύνατος.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 20
Για δάσκαλο
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 23
Πηγές του
Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, τάξεις 10-11, Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο, 10η έκδ. (Βασικό επίπεδο), A.G. Mordkovich, M., 2009 Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, τάξεις 10-11. (Βασικό επίπεδο) Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δάσκαλο, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Οι πίνακες συντάσσονται σε MS Word και MS Excel. Πηγές Διαδικτύου
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
08.02.2014
*

Ο τύπος του Bernoulli

Belyaeva T.Yu. GBPOU CC "AMT", Armavir Μαθηματικός

• Ένας από τους θεμελιωτές της θεωρίας των πιθανοτήτων και της μαθηματικής ανάλυσης

• Ξένο μέλος της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού (1699) και της Ακαδημίας Επιστημών του Βερολίνου (1701)

Ο μεγαλύτερος αδερφός του Johann Bernoulli (το πιο διάσημο μέλος της οικογένειας Bernoulli)

Jacob Bernoulli (1654 - 1705)

Ελβετός μαθηματικός

Αφήστε το να παραχθεί Π ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α είναι R , και επομένως η πιθανότητα να μην συμβεί είναι q = 1 - p .

Απαιτείται να βρεθεί η πιθανότητα ότι για Π διαδοχικές δοκιμές γεγονός Α θα συμβεί ακριβώς Τ μια φορά.

Η απαιτούμενη πιθανότητα συμβολίζεται με R Π ( Τ ) .

Είναι προφανές ότι

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

R 1 (1) + σελ 1 (0) = p + q = 1

• Σε δύο δοκιμές:

4 αποτελέσματα είναι πιθανά:

p 2 (2) = p 2; p 2 (1) = 2p q; p 2 (0) = q 2

R 2 (2) + σελ 2 (1) + σελ 2 (0) = (p + q) 2 = 1

• Σε τρία τεστ:

8 αποτελέσματα είναι πιθανά:

Παίρνουμε:

p 3 (2) = 3p 2 q

p 3 (1) = 3pq 2

R 3 (3) + σελ 3 (2) + σελ 3 (1) + σελ 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Στόχος 1.

Το κέρμα ρίχνεται 8 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να πέσει το «εθνόσημο» 4 φορές;

Στόχος 2.

Υπάρχουν 20 μπάλες στην λάρνακα: 15 λευκές και 5 μαύρες. Έβγαλαν 5 μπάλες στη σειρά, με κάθε μπάλα που αφαιρέθηκε να επιστρέφει στο δοχείο πριν αφαιρέσουν την επόμενη μπάλα. Βρείτε την πιθανότητα να υπάρχουν 2 άσπρες μπάλες από τις πέντε κληρωμένες μπάλες.

Τύποι για την εύρεση της πιθανότητας ότι v Π θα έρθει δοκιμαστική εκδήλωση :

ένα) λιγότερο από t φορές

R Π (0) + ... + σελ Π (t-1)

σι) περισσότερες από t φορές

R Π (m + 1) + ... + p Π (Π)

v) όχι περισσότερες από t φορές

R Π (0) + ... + σελ Π (Τ)

ΣΟΛ) τουλάχιστον t φορές

R Π (t) + ... + p Π (Π)

Στόχος 3.

Η πιθανότητα κατασκευής ενός μη τυποποιημένου ανταλλακτικού σε αυτόματο μηχάνημα είναι 0,02. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι μεταξύ των τυχαίων έξι μερών θα υπάρχουν περισσότερα από 4 τυπικά.

Εκδήλωση Α - « περισσότερα από 4 τυπικά εξαρτήματα"(5 ή 6) σημαίνει

« όχι περισσότερο από 1 ελαττωματικό εξάρτημα"(0 ή 1)

Αφήστε το να παραχθεί Π ανεξάρτητα τεστ. Με κάθε τέτοιο τεστ, το συμβάν Α μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α.

Απαιτείται να βρεθεί ένας τέτοιος αριθμός μ (0, 1, ..., n), για την οποία η πιθανότητα P n (μ) θα είναι η υψηλότερη.

Εργασία 4.

Το μερίδιο των προϊόντων premium σε αυτήν την επιχείρηση είναι 31%. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός "Εξτρα" ειδών εάν επιλεγεί μια παρτίδα 75 ειδών;

Κατά συνθήκη: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Εργασία 6.

Δύο σκοπευτές πυροβολούν στο στόχο. Η πιθανότητα αστοχίας σε ένα σουτ για τον πρώτο σουτέρ είναι 0,2 και για το δεύτερο - 0,4. Βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό βόλεϊ που δεν θα χτυπήσει το στόχο εάν οι σκοπευτές ρίξουν 25 βόλια.

Κατά συνθήκη: n = 25, p = 0,2 0,4 = 0,08, q = 0,92

Οι επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές ονομάζονται δοκιμές Bernoulli εάν κάθε δοκιμή έχει μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα και οι πιθανότητες των αποτελεσμάτων παραμένουν οι ίδιες για όλες τις δοκιμές.

Ας υποδηλώσουμε αυτές τις πιθανότητες ως Πκαι q... Αποτέλεσμα με πιθανότητα Πθα ονομάζεται «επιτυχία» και το αποτέλεσμα με πιθανότητα q- "αποτυχία".

Είναι προφανές ότι

Ο βασικός χώρος εκδηλώσεων για κάθε δοκιμή αποτελείται από δύο σημεία. Ο χώρος των στοιχειωδών εκδηλώσεων για nΗ δοκιμή του Bernoulli περιέχει σημεία, καθένα από τα οποία αντιπροσωπεύει ένα πιθανό αποτέλεσμα ενός σύνθετου πειράματος. Εφόσον οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες, η πιθανότητα μιας ακολουθίας γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων των αντίστοιχων αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, η πιθανότητα μιας ακολουθίας γεγονότων

(U, U, H, U, H, H, H)

ίσο με το γινόμενο

Παραδείγματα δοκιμών Bernoulli.

1. Διαδοχική ρίψη του «σωστού» νομίσματος. Σε αυτήν την περίπτωση Π = q = 1/2 .

Όταν πεταχτεί ένα ασύμμετρο νόμισμα, οι αντίστοιχες πιθανότητες θα αλλάξουν τις τιμές τους.

2. Κάθε αποτέλεσμα του πειράματος μπορεί να θεωρηθεί ως ΕΝΑή .

3. Εάν υπάρχουν πολλά πιθανά αποτελέσματα, τότε μπορεί να διακριθεί από αυτά μια ομάδα αποτελεσμάτων, τα οποία θεωρούνται «επιτυχία», αποκαλώντας όλα τα άλλα αποτελέσματα «αποτυχία».

Για παράδειγμα, με διαδοχικές ρίψεις των ζαριών, η "επιτυχία" μπορεί να γίνει κατανοητή ως ρίψη 5 και ως "αποτυχία" - η πτώση οποιουδήποτε άλλου αριθμού πόντων. Σε αυτήν την περίπτωση Π = 1/6, q = 5/6.

Εάν με τον όρο "επιτυχία" εννοούμε την απώλεια ενός ζυγού αριθμού και με τον όρο "αποτυχία" - έναν περιττό αριθμό πόντων, τότε Π = q = 1/2 .

4. Επαναλαμβανόμενη κατά λάθος απόσυρση της μπάλας από το δοχείο που περιέχει σε κάθε δοκιμή ένα άσπρη άμμος σιμαύρες μπάλες. Αν με τον όρο επιτυχία εννοούμε την εξαγωγή της λευκής μπάλας, τότε,.

Ο Feller δίνει το ακόλουθο παράδειγμα της πρακτικής εφαρμογής του σχήματος δοκιμής Bernoulli. Οι ροδέλες που κατασκευάζονται σε μαζική παραγωγή μπορεί να διαφέρουν σε πάχος, αλλά μετά από έλεγχο ταξινομούνται ως καλές ή ελαττωματικές, ανάλογα με το αν το πάχος είναι εντός του προβλεπόμενου εύρους. Αν και τα προϊόντα για πολλούς λόγους ενδέχεται να μην συμμορφώνονται πλήρως με το σύστημα Bernoulli, αυτό το σύστημα θέτει το ιδανικό πρότυπο για τον βιομηχανικό έλεγχο ποιότητας των προϊόντων, παρόλο που αυτό το πρότυπο δεν επιτυγχάνεται ποτέ με ακρίβεια. Οι μηχανές υπόκεινται σε αλλαγές και επομένως οι πιθανότητες δεν παραμένουν ίδιες. υπάρχει κάποια συνέπεια στον τρόπο λειτουργίας των μηχανών, με αποτέλεσμα μεγάλες σειρές πανομοιότυπων αποκλίσεων να είναι πιο πιθανές από ό,τι θα ήταν εάν οι δοκιμές ήταν πραγματικά ανεξάρτητες. Ωστόσο, από την άποψη του ποιοτικού ελέγχου του προϊόντος, είναι επιθυμητό η διαδικασία να ακολουθεί το σχήμα Bernoulli και είναι σημαντικό αυτό να μπορεί να επιτευχθεί εντός ορισμένων ορίων. Σκοπός της παρακολούθησης είναι ο εντοπισμός, σε πρώιμο στάδιο, σημαντικών αποκλίσεων από το ιδανικό σχήμα και η χρήση τους ως ενδείξεις απειλητικής παραβίασης της σωστής λειτουργίας του μηχανήματος.

«Στοιχεία Μαθηματικής Στατιστικής» - Διάστημα εμπιστοσύνης. Η επιστήμη. Ταξινόμηση υποθέσεων. Τα εξαρτήματα κατασκευάζονται σε διαφορετικά μηχανήματα. Κανόνες επικύρωσης. Εξάρτηση συσχέτισης. Εθισμός. Το σύνολο των τιμών του κριτηρίου. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης. Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης για άγνωστη διακύμανση. Κανονική κατανομή.

"Πιθανότητες και Μαθηματικά Στατιστικά" - Η ακρίβεια των τιμών που ελήφθησαν. Ασφαλής κρυπτογράφηση. Περιγραφικά στατιστικά. Μήλο. Σκεφτείτε τα γεγονότα. Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού. Δύο βέλη. Σύγκριση εκπαιδευτικών προγραμμάτων. Καραμέλλα. Παραδείγματα ραβδόγραμμα. Μαθηματικά σημάδια. Κανόνας πολλαπλασιασμού για τρία. Λευκά και κόκκινα τριαντάφυλλα. 9 διαφορετικά βιβλία. Χειμερινές διακοπές.

«Βασικές αρχές της Μαθηματικής Στατιστικής» - Πιθανότητα υπό όρους. Πίνακας τυποποιημένων τιμών. Ιδιότητες κατανομής του Μαθητή. Διάστημα εμπιστοσύνης μαθηματικής προσδοκίας. Δείγμα μέσου όρου. Κατανομή. Ένα τεστ μπορεί να θεωρηθεί ως μια σειρά από ένα τεστ. Quantile - στα αριστερά θα πρέπει να είναι ο αριθμός των τιμών που αντιστοιχούν στον δείκτη ποσοστοιχίας.

"Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική" - Τα όρια του διαστήματος. Κρίσιμες περιοχές. Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων. Κατανομή μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής. Παραγωγή του τύπου Bernoulli. Νόμοι κατανομής τυχαίων μεταβλητών. Το σκεύασμα του ZBCH. Η έννοια και η διατύπωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Σχέση ονομαστικών χαρακτηριστικών. Στοχαστική εξάρτηση δύο τυχαίων μεταβλητών.

«Στατιστική Έρευνα» - Συνάφεια. Στατιστικά χαρακτηριστικά και έρευνα. Σχέδιο. Η αιώρηση είναι η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής σε μια σειρά δεδομένων. Είδη στατικής παρατήρησης. Σας αρέσει να σπουδάζετε μαθηματικά. Εξετάστε μια σειρά αριθμών. Ποιος σας βοηθά να λύσετε ένα δύσκολο θέμα στα μαθηματικά. Χρειάζεστε μαθηματικά στο μελλοντικό σας επάγγελμα;

«Βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά» - Βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο. Πετρώνιος. Σουφρώνω. Μόδα σειρών. Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς αριθμών. Η γκάμα της σειράς. Ο διάμεσος της σειράς. Στατιστική. Διάμεσος. Σχολικά τετράδια.

Υπάρχουν 17 παρουσιάσεις συνολικά

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΦΟΡΕΑΣ

Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

ανώτερη επαγγελματική εκπαίδευση

«ΜΑΤΙ»  ΡΩΣΙΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΜ. Η Κ.Ε. ΤΣΙΟΛΚΟΒΣΚΥ

Τμήμα "Μοντελοποίηση συστημάτων και τεχνολογιών πληροφοριών"

Επανάληψη δοκιμών. Σχέδιο Bernoulli

Μεθοδικές οδηγίες για πρακτικές ασκήσεις

στο γνωστικό αντικείμενο "Ανώτατα Μαθηματικά"

Συντάχθηκε από: Egorova Yu.B.

Mamonov I.M.

Μόσχα 2006 εισαγωγή

Οι μεθοδολογικές οδηγίες προορίζονται για φοιτητές των ημερήσιων και απογευματινών τμημάτων της σχολής Νο. 14 των ειδικοτήτων 150601, 160301, 230102. Οι οδηγίες επισημαίνουν τις βασικές έννοιες του θέματος, καθορίζουν τη σειρά μελέτης της ύλης. Ένας μεγάλος αριθμός εξεταζόμενων παραδειγμάτων βοηθά στην πρακτική κατάκτηση του θέματος. Οι μεθοδολογικές οδηγίες χρησιμεύουν ως μεθοδολογική βάση για πρακτική εκπαίδευση και ατομικές εργασίες.

ΣΧΕΔΙΟ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ. ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ

Σχέδιο Bernoulli- σχήμα επαναλαμβανόμενων ανεξάρτητων δοκιμών, στο οποίο ένα γεγονός ΕΝΑμπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές με σταθερή πιθανότητα R (ΕΝΑ)= R .

Παραδείγματα δοκιμών που πραγματοποιήθηκαν σύμφωνα με το σχήμα Μπερνούλι: πολλαπλή ρίψη νομίσματος ή ζαριού, κατασκευή μιας παρτίδας εξαρτημάτων, βολή σε στόχο κ.λπ.

Θεώρημα.Εάν η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και ίση με R, τότε η πιθανότητα ότι το συμβάν ΕΝΑθα έρθω Μμια φορά σε nΟι δοκιμές (ανεξαρτήτως με ποια σειρά), μπορούν να προσδιοριστούν από τον τύπο Bernoulli:

που q = 1 – Π.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.Η πιθανότητα η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας κατά τη διάρκεια μιας ημέρας να μην υπερβαίνει τον καθορισμένο συντελεστή ισούται με p = 0,75. Βρείτε την πιθανότητα τις επόμενες 6 ημέρες η κατανάλωση ρεύματος για 4 ημέρες να μην υπερβαίνει το κανονικό.

ΛΥΣΗ. Η πιθανότητα κανονικής κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας για κάθε μία από τις 6 ημέρες είναι σταθερή και ίση με R= 0,75. Κατά συνέπεια, η πιθανότητα υπερβολικής κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας ανά ημέρα είναι επίσης σταθερή και ίση με q = 1R = 1  0,75 = 0,25.

Η απαιτούμενη πιθανότητα σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli είναι:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.Ο σκοπευτής εκτοξεύει τρεις βολές στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με κάθε βολή είναι p = 0,3. Βρείτε την πιθανότητα να: α) χτυπηθεί ένας στόχος. β) και οι τρεις στόχοι. γ) ούτε ένας στόχος. δ) τουλάχιστον ένας στόχος. ε) λιγότεροι από δύο στόχους.

ΛΥΣΗ. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με κάθε βολή είναι σταθερή και ίση με R= 0,75. Επομένως, η πιθανότητα αστοχίας είναι q = 1 R= 1  0,3 = 0,7. Συνολικός αριθμός πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν n=3.

α) Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με τρεις βολές είναι ίση με:

β) Η πιθανότητα να χτυπηθούν και οι τρεις στόχοι με τρεις βολές είναι ίση με:

γ) Η πιθανότητα τριών αστοχιών σε τρεις βολές ισούται με:

δ) Η πιθανότητα να χτυπηθεί τουλάχιστον ένας στόχος με τρεις βολές είναι ίση με:

ε) Η πιθανότητα να χτυπήσει λιγότερους από δύο στόχους, δηλαδή είτε έναν στόχο είτε κανέναν:

1. Τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα Moivre-Laplace

Εάν εκτελεστεί μεγάλος αριθμός δοκιμών, τότε ο υπολογισμός των πιθανοτήτων χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli γίνεται τεχνικά δύσκολος, καθώς ο τύπος απαιτεί πράξεις σε τεράστιους αριθμούς. Επομένως, υπάρχουν απλούστεροι κατά προσέγγιση τύποι για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων γενικά n... Αυτοί οι τύποι ονομάζονται ασυμπτωτικοί και καθορίζονται από το θεώρημα Poisson, το τοπικό και ολοκληρωτικό θεώρημα Laplace.

Τοπικό θεώρημα Moivre-Laplace. ΕΝΑ ΕΝΑθα συμβεί Μμια φορά σε n n (n →∞ ) ισούται περίπου με:

όπου λειτουργία
και το επιχείρημα

Περισσότερο n, τόσο πιο ακριβής είναι ο υπολογισμός των πιθανοτήτων. Επομένως, είναι σκόπιμο να εφαρμοστεί το θεώρημα Moivre-Laplace για npq  20.

φά ( Χ ) συνέταξε ειδικούς πίνακες (βλ. Παράρτημα 1). Όταν χρησιμοποιείτε τραπέζι, να έχετε κατά νου ιδιότητες λειτουργίας f (x) :

Λειτουργία f (x)είναι άρτιος στ (  x) = f (x) .

Στο Χ ∞ συνάρτηση f (x) 0. Στην πράξη, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ήδη στο Χ> 4 λειτουργία f (x) ≈0.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.Βρείτε την πιθανότητα ενός συμβάντος ΕΝΑεμφανίζεται 80 φορές σε 400 προκλήσεις εάν η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν ΕΝΑσε κάθε δοκιμή ισούται με p = 0,2.

ΛΥΣΗ. Κατά συνθήκη n=400, Μ=80, Π=0,2, q= 0,8. Ως εκ τούτου:

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, προσδιορίζουμε την τιμή της συνάρτησης φά (0)=0,3989.

Ολοκληρωμένο θεώρημα Moivre-Laplace.Εάν η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και διαφορετική από 0 και 1, τότε η πιθανότητα ότι το γεγονός ΕΝΑθα προέλθει από Μ 1 πριν Μ 2 μια φορά σε n δοκιμές με αρκετά μεγάλο αριθμό n (n →∞ ) ισούται περίπου με:

που
 ολοκληρωτική ή συνάρτηση Laplace,

Για να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης F ( Χ ) συνέταξε ειδικούς πίνακες (για παράδειγμα, βλ. Παράρτημα 2). Όταν χρησιμοποιείτε τραπέζι, να έχετε κατά νου ιδιότητες της συνάρτησης Laplace Ф (x) :

Λειτουργία Ф (x)είναι παράξενο F (  x) =  Ф (x) .

Στο Χ ∞ συνάρτηση Ф (x) 0,5. Στην πράξη, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ήδη στο Χ> 5 λειτουργία Ф (x) ≈0,5.

φά (0)=0.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.Η πιθανότητα ένα εξάρτημα να μην έχει περάσει την επιθεώρηση QCD είναι 0,2. Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ των 400 εξαρτημάτων, 70 έως 100 μέρη θα είναι μη ελεγμένα.

ΛΥΣΗ. Κατά συνθήκη n=400, Μ 1 =70, Μ 2 =100, Π=0,2, q= 0,8. Ως εκ τούτου:

Σύμφωνα με τον πίνακα στον οποίο δίνονται οι τιμές της συνάρτησης Laplace, προσδιορίζουμε:

Ф (x 1 ) = F (  1,25 )=  F ( 1,25 )=  0,3944; Ф (x 2 ) = F ( 2,5 )= 0,4938.