테스트의 반복. 베르누이 방식

18.12.2021

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제9장 수학적 통계의 요소, 조합론 및 확률론 §54. 무작위 사건과 그 확률 3. 테스트의 독립적인 반복. BERNULLI의 정리 및 통계적 안정성.

내용 예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률... 솔루션 5a); 솔루션 5b); 솔루션 5c); 솔루션 5d). 참고 ... 전체 반복 시리즈에서 아는 것이 중요합니다 ... Jacob Bernoulli는 예제와 질문을 결합했습니다 ... THEOREM 3 (Bernoulli의 정리). 예 6. 각 점 a) - d)에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 Pn(k)에 대한 표현식을 계산 없이 작성합니다. 솔루션 6 a); 솔루션 6 b); 솔루션 6 c); 솔루션 6 d). Bernoulli의 정리는 ... THEOREM 4. 많은 수의 독립적 인 반복을 위해 ... 교사를 위해. 출처. 2014년 2월 8일 2

3. 테스트의 독립적 반복. BERNULLI의 정리 및 통계적 안정성. 3부. 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 3

예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률 앞의 예를 약간 변경해 보겠습니다. 두 명의 다른 사수 대신 동일한 사수가 목표물을 쏠 것입니다. 예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 목표가 다음과 같은 확률을 구합니다. b) 놀라지 않을 것입니다. c) 적어도 한 번은 공격을 받아야 합니다. d) 정확히 한 번만 적중됩니다. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 4

예제 5a) 예제 5의 솔루션. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 목표가 다음과 같은 확률을 구합니다. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 5

실시예 5b) 실시예 5의 용액. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 목표가 다음과 같은 확률을 찾으십시오. b) 명중되지 않을 것입니다. 결정: 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 6

예 5c) 예 5의 솔루션. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 표적이 다음과 같은 확률을 구하십시오. c) 적어도 한 번은 명중될 것입니다. 결정: 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 7

예제 5d) 예제 5의 솔루션. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 목표물이 d) 정확히 한 번 명중될 확률을 찾으십시오. 결정: 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 8

참고 예 5의 d)에 제공된 솔루션은 특정 경우에 가장 일반적인 확률 모델 중 하나를 참조하는 유명한 베르누이 정리의 증명을 반복합니다. 즉, 동일한 테스트를 두 가지 가능한 결과로 독립적으로 반복합니다. 많은 확률론적 문제의 독특한 특징은 결과적으로 우리에게 흥미로운 사건이 발생할 수 있는 테스트가 여러 번 반복될 수 있다는 것입니다. 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 9

전체 반복 시리즈에서 아는 것이 중요합니다. 이러한 각 반복에서 우리는 이 이벤트가 발생할지 여부에 대한 질문에 관심이 있습니다. 그리고 일련의 전체 반복에서 이 사건이 몇 번이나 일어날지 또는 일어나지 않을지를 정확히 아는 것이 중요합니다. 예를 들어 주사위를 10번 연속으로 던졌습니다. "four"가 정확히 3번 떨어질 확률은 얼마입니까? 10발 발사; 표적에 정확히 8번의 안타가 있을 확률은 얼마입니까? 또는 다섯 번의 동전 던지기에서 앞면이 정확히 4번 나올 확률은 얼마입니까? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 10

예와 질문을 결합한 Jacob Bernoulli 18세기 초 스위스 수학자 Jacob Bernoulli는 이러한 유형의 예와 질문을 단일 확률 체계로 결합했습니다. 어떤 테스트 동안 무작위 사건 A의 확률이 P(A)와 같다고 하자. 우리는 이 테스트를 두 가지 가능한 결과만 있는 테스트로 간주할 것입니다. 하나의 결과는 사건 A가 발생한다는 것이고 다른 결과는 사건 A가 일어나지 않는다는 것, 즉 사건 Ᾱ이 발생할 것이라는 것입니다. 간결하게 하기 위해 첫 번째 결과(사건 A의 시작)를 "성공"이라고 부르고 두 번째 결과(사건 Ᾱ의 시작)를 "실패"라고 부르겠습니다. "성공"의 확률 P(A)를 p로 표시하고, "실패"의 확률 P(Ᾱ)를 q로 표시합니다. 따라서 q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p입니다. 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 11

정리 3(베르누이의 정리) 정리 3(베르누이의 정리). Pn(k)를 동일한 테스트의 n번의 독립적인 반복에서 정확히 k개의 "성공"이 발생할 확률이라고 합니다. 그런 다음 P n (k) = С n k  p k  q n-k, 여기서 p는 "성공"의 확률이고 q = 1 - p는 별도의 테스트에서 "실패"의 확률입니다. 이 정리(증명 없이 제시)는 이론과 실습 모두에서 매우 중요합니다. 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 12

실시예 6. 실시예 6. 항목 a) - d) 각각에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 P n (k)에 대한 표현식을 계산 없이 작성하십시오. a) 10번의 동전 던지기에서 정확히 7개의 "머리"가 나올 확률은 얼마입니까? b) 20명 각자가 독립적으로 요일 중 하나를 지정합니다. "나쁜"일은 월요일과 금요일입니다. "운"이 정확히 절반이 될 확률은 얼마입니까? c) 주사위가 5점 또는 6점이면 주사위를 굴린 것이 "성공"입니다. 정확히 25번의 던지기 중 5번이 "성공"할 가능성은 얼마입니까? d) 테스트는 동시에 세 개의 다른 동전을 던지는 것으로 구성됩니다. "실패": "머리"보다 "꼬리"가 더 많습니다. 7번의 던지기 중 정확히 3번의 "운"이 있을 확률은 얼마입니까? 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 13

솔루션 6a) 예 6. 항목 a) - d) 각각에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 P n (k)에 대한 표현식을 계산 없이 작성하십시오. a) 10번의 동전 던지기에서 정확히 7개의 "머리"가 나올 확률은 얼마입니까? 결정: 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 14

솔루션 6b) 예 6. 항목 a) - d) 각각에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 P n (k)에 대한 표현식을 계산 없이 작성하십시오. b) 20명 각자가 독립적으로 요일 중 하나를 지정합니다. "나쁜"일은 월요일과 금요일입니다. "운"이 정확히 절반이 될 확률은 얼마입니까? 결정: 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 15

솔루션 6c) 예 6. 항목 a) - d) 각각에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 P n (k)에 대한 표현식을 계산 없이 작성하십시오. c) 주사위가 5점 또는 6점이면 주사위를 굴린 것이 "성공"입니다. 정확히 25번의 던지기 중 5번이 "성공"할 가능성은 얼마입니까? 결정: 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 16

솔루션 6d) 예 6. 항목 a) - d) 각각에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 P n (k)에 대한 표현식을 계산 없이 작성하십시오. d) 테스트는 동시에 세 개의 다른 동전을 던지는 것으로 구성됩니다. "실패": "머리"보다 "꼬리"가 더 많습니다. 7번의 던지기 중 정확히 3번의 "운"이 있을 확률은 얼마입니까? 솔루션: d) n = 7, k = 3. 한 번의 던지기에서 "운"은 "머리"보다 "꼬리"가 적다는 사실로 구성됩니다. 총 8개의 결과가 가능합니다: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC(R - "꼬리", O - "머리"). 정확히 절반에는 꼬리가 더 적습니다: ROO, ORO, OOP, LLC. 따라서 p = q = 0.5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0.5 3 ∙ 0.5 4 = C 7 3 ∙ 0.5 7. 2014년 2월 8일 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 17

베르누이의 정리는 다음을 허용합니다 ... 베르누이의 정리를 사용하면 확률 정의에 대한 통계적 접근 방식과 무작위 사건의 확률에 대한 고전적인 정의 간의 연결을 설정할 수 있습니다. 이 연결을 설명하기 위해 정보의 통계 처리에 관한 § 50의 용어로 돌아가겠습니다. 행운과 실패라는 두 가지 결과가 있는 동일한 시도를 n번 독립적으로 반복하는 시퀀스를 고려하십시오. 이 테스트의 결과는 "운"과 "실패"라는 두 가지 옵션의 시퀀스로 구성된 일련의 데이터를 구성합니다. 간단히 말해서, 두 글자 Y("행운")와 H("불운")로 구성된 길이 n의 시퀀스가 있습니다. 예를 들어, U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U 또는 H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H 등 n. Y 변형의 다중도와 빈도를 계산해 보겠습니다. 즉, 분수 k / n을 찾을 수 있습니다. 여기서 k는 모든 n 반복 중에서 발생한 "성공"의 수입니다. n이 무제한 증가하면 "성공"이 발생하는 빈도 k / n은 한 번의 시도에서 "성공"의 확률 p와 실질적으로 구별할 수 없습니다. 이 다소 복잡한 수학적 사실은 정확히 베르누이의 정리에서 파생됩니다. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 18

정리 4. 독립적인 반복 횟수가 많은 경우 정리 4. 동일한 테스트를 여러 번 독립적으로 반복하면 정확도가 더 높은 무작위 이벤트 A의 발생 빈도는 이벤트 A의 확률과 거의 같습니다. k / n ≈ P(A). 예를 들어, 99%보다 큰 확률을 가진 n> 2000의 경우 절대 오차 | k / n - P(A) | 근사 등식 k / n≈ P(A)는 0.03보다 작습니다. 따라서 사회학적 조사에서는 약 2,000명 정도 무작위로 선정된 사람(응답자)을 인터뷰하는 것으로 충분합니다. 예를 들어 그들 중 520명이 질문에 긍정적으로 대답했다면 k / n = 520/2000 = 0.26이고 더 많은 수의 응답자에 대해 이 빈도는 0.23에서 0.29 사이가 될 것이 사실상 확실합니다. 이러한 현상을 통계적 안정성 현상이라고 합니다. 따라서 Bernoulli의 정리와 그 결과는 명시적 계산이 불가능한 경우에 무작위 사건의 확률을 (대략) 찾을 수 있도록 합니다. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 19

교사용 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 20

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 21

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 22

출처 대수학 및 분석의 시작, 10-11학년, 파트 1. 교과서, 10판. (기본 수준), A.G. Mordkovich, M., 2009 대수 및 분석 시작, 10-11학년. (기본 수준) 교사를 위한 방법론 매뉴얼, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 표는 MS Word 및 MS Excel로 편집됩니다. 인터넷 리소스 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사 2014년 2월 8일 23

시사:

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슬라이드 1
9장. 수학적 통계의 요소, 조합론 및 확률 이론
§54. 무작위 사건과 그 확률 3. 테스트의 독립적인 반복. BERNULLI의 정리 및 통계적 안정성.

슬라이드 2
콘텐츠
예 5. 한 번에 목표물을 명중할 확률 ... 솔루션 5a), 솔루션 5b), 솔루션 5c), 솔루션 5d) 참고 ... 전체 반복 시리즈에서 아는 것이 중요합니다 ... Jacob 베르누이의 예와 질문을 결합한 ... THEOREM 3(베르누이의 정리).
예 6. 각 점 a) - d)에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 Pn(k)에 대한 표현식을 작성(계산 없이) 솔루션 6a), 솔루션 6b), 솔루션 6c), 솔루션 6d). Bernoulli의 정리는 ... THEOREM 4. 많은 수의 독립적 인 반복으로 ... 교사를 위해.출처.
08.02.2014
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슬라이드 3
3. 테스트의 독립적 반복. BERNULLI의 정리 및 통계적 안정성.
3부.
08.02.2014
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슬라이드 4
예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률
앞의 예를 약간 바꿔보자: 두 명의 다른 사수 대신에 같은 사수가 목표물을 쏠 것이다 예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8이다. 3발의 독립사격을 하였다. a) 세 번 맞을 확률 b) 안 맞을 것 c) 적어도 한 번 맞을 것 d) 정확히 한 번 맞을 확률
08.02.2014
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슬라이드 5
실시예 5a)의 해법
예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 목표가 다음과 같은 확률을 구합니다.
08.02.2014
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슬라이드 6
예 5b)의 솔루션
예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. b) 목표물이 명중되지 않을 확률을 찾으십시오.
08.02.2014
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슬라이드 7
솔루션 예 5c)
예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 목표물이 c) 적어도 한 번은 명중될 확률을 찾으십시오.
08.02.2014
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슬라이드 8
솔루션 예 5d)
예 5. 한 발로 목표물을 명중할 확률은 0.8입니다. 3발의 독립사격을 하였다. 목표물 d)가 정확히 한 번 명중될 확률을 찾으십시오.
08.02.2014
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슬라이드 9
메모
예 5의 d)에 주어진 솔루션은 특정 경우에 유명한 베르누이 정리의 증명을 반복합니다. 이 정리는 가장 일반적인 확률 모델 중 하나를 참조합니다. 동일한 테스트를 두 가지 가능한 결과로 독립적으로 반복합니다. 많은 확률 문제의 독특한 특징은 결과적으로 우리에게 흥미로운 사건이 발생할 수 있는 테스트가 여러 번 반복될 수 있다는 것입니다.
08.02.2014
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슬라이드 10
전체 반복 중에 다음을 아는 것이 중요합니다.
이러한 각각의 반복에서 우리는 이 이벤트가 발생할지 여부에 대한 질문에 관심이 있습니다. 그리고 일련의 전체 반복에서 이 사건이 몇 번이나 일어날지 또는 일어나지 않을지를 정확히 아는 것이 중요합니다. 예를 들어 주사위를 10번 연속으로 던졌습니다. "four"가 정확히 3번 떨어질 확률은 얼마입니까? 10발 발사; 표적에 정확히 8번의 안타가 있을 확률은 얼마입니까? 또는 다섯 번의 동전 던지기에서 앞면이 정확히 4번 나올 확률은 얼마입니까?
08.02.2014
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슬라이드 11
Jacob Bernoulli 결합 예제 및 질문
18세기 초 스위스 수학자 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)는 이러한 유형의 예와 질문을 단일 확률 체계로 결합했습니다. 어떤 테스트에서 임의의 사건 A의 확률을 P(A)로 둡니다. 우리는 이 테스트를 두 가지 가능한 결과만 있는 테스트로 간주할 것입니다. 하나의 결과는 사건 A가 발생한다는 것이고 다른 결과는 사건 A가 일어나지 않는다는 것, 즉 사건 Ᾱ이 발생할 것이라는 것입니다. 간결하게 하기 위해 첫 번째 결과(사건 A의 시작)를 "성공"이라고 부르고 두 번째 결과(사건 Ᾱ의 시작)를 "실패"라고 부르겠습니다. "성공"의 확률 P(A)를 p로 표시하고, "실패"의 확률 P(Ᾱ)를 q로 표시합니다. 따라서 q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p입니다.
08.02.2014
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슬라이드 12
정리 3(베르누이의 정리)
정리 3(베르누이의 정리). Pn(k)를 동일한 테스트의 n번의 독립적인 반복에서 정확히 k개의 "성공"이 발생할 확률이라고 합니다. 그러면 Pn(k) = Сnk pk qn-k, 여기서 р는 "성공" 확률, aq = 1-р는 별도의 테스트에서 "실패" 확률입니다. 이 정리(증명 없이 제시) 이론과 실습에서도 매우 중요합니다.
08.02.2014
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슬라이드 13
예 6.
예 6. 각 점 a) - d)에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 Pn(k)에 대한 표현식을 작성(계산 없이). 동전? b) 각각의 20 사람들은 독립적으로 요일 중 하나를 지정합니다. "나쁜"일은 월요일과 금요일입니다. "운"의 정확히 절반이 있을 확률은 얼마입니까? 25번 중 정확히 5번이 "성공"할 확률은 얼마입니까? D) 테스트는 세 개의 다른 동전을 동시에 던지는 것으로 구성됩니다. "실패": "머리"보다 "꼬리"가 더 많습니다. 7번의 던지기 중 정확히 3번의 "운"이 있을 확률은 얼마입니까?
08.02.2014
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슬라이드 14
솔루션 6a)
예 6. 각 점 a) - d)에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 Pn(k)에 대한 표현식을 작성합니다(계산 없이).
08.02.2014
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슬라이드 15
솔루션 6b)
예 6. 각 점 a) - d)에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 Pn(k)에 대한 표현식을 작성(계산 없이) B) 20명 각각 독립적으로 요일 중 하나의 이름을 지정합니다. "나쁜"일은 월요일과 금요일입니다. "운"이 정확히 절반이 될 확률은 얼마입니까?
08.02.2014
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슬라이드 16
솔루션 6c)
예 6. 각 점 a) - d)에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 Pn(k)에 대한 표현식을 작성(계산 없이) C) 주사위를 던지는 것은 "성공적입니다. " 5~6점 굴리면… 정확히 25번의 던지기 중 5번이 "성공"할 가능성은 얼마입니까?
08.02.2014
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슬라이드 17
솔루션 6d)
예 6. 각 점 a) - d)에서 n, k, p, q의 값을 결정하고 원하는 확률 Pn(k)에 대한 표현식을 작성(계산 없이) D) 테스트는 동시 세 가지 다른 동전 던지기. "실패": "머리"보다 "꼬리"가 더 많습니다. 7번의 던지기 중 정확히 3번의 "안타"가 나올 확률은 얼마입니까? 솔루션: d) n = 7, k = 3. 한 번의 던지기에서 "운"은 "머리"보다 "꼬리"가 더 적습니다. 총 8개의 결과가 가능합니다: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC(R - "꼬리", O - "머리"). 정확히 절반에는 꼬리가 더 적습니다: ROO, ORO, OOP, LLC. 따라서 p = q = 0.5; Р7 (3) = С73 ∙ 0.53 ∙ 0.54 = С73 ∙ 0.57.
08.02.2014
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슬라이드 18
베르누이의 정리는 ...
Bernoulli의 정리를 사용하면 확률 정의에 대한 통계적 접근 방식과 무작위 사건의 확률에 대한 고전적 정의를 연결할 수 있습니다. 이 연결을 설명하기 위해 정보의 통계 처리에 관한 § 50의 용어로 돌아가겠습니다. 행운과 실패라는 두 가지 결과가 있는 동일한 시도를 n번 독립적으로 반복하는 시퀀스를 고려하십시오. 이 테스트의 결과는 "운"과 "실패"라는 두 가지 옵션의 시퀀스로 구성된 일련의 데이터를 구성합니다. 간단히 말해서, 두 글자 Y("행운")와 H("불운")로 구성된 길이 n의 시퀀스가 있습니다. 예를 들어, U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U 또는 H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H 등 n. Y 변형의 다중도와 빈도를 계산해 보겠습니다. 즉, 분수 k / n을 찾을 수 있습니다. 여기서 k는 모든 n 반복 중에서 발생한 "성공"의 수입니다. n이 무제한 증가하면 "성공"이 발생하는 빈도 k / n은 한 번의 시도에서 "성공"의 확률 p와 실질적으로 구별할 수 없을 것입니다. 이 다소 복잡한 수학적 사실은 정확히 베르누이의 정리에서 파생됩니다.
08.02.2014
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슬라이드 19
THEOREM 4. 많은 수의 독립적인 반복에 대해
정리 4. 동일한 테스트를 여러 번 독립적으로 반복하면 더 높은 정확도로 무작위 이벤트 A의 발생 빈도는 이벤트 A의 확률과 거의 같습니다: k / n≈ P(A) 예를 들면, 확률이 99%보다 큰 n> 2000의 경우 절대 오차 | k / n-P (A) | 근사 등식 k / n≈ P(A)는 0.03보다 작습니다. 따라서 사회학적 조사에서는 약 2,000명 정도 무작위로 선정된 사람(응답자)을 인터뷰하는 것으로 충분합니다. 예를 들어 그들 중 520명이 질문에 긍정적으로 대답했다면 k / n = 520/2000 = 0.26이고 더 많은 수의 응답자에 대해 이 빈도는 0.23에서 0.29 사이가 될 것이 사실상 확실합니다. 이러한 현상을 통계적 안정성 현상이라고 하며, 따라서 Bernoulli의 정리와 그 결과는 명시적인 계산이 불가능한 경우에 무작위 사건의 확률을 (대략) 찾을 수 있도록 합니다.
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선생님을 위해
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슬라이드 21
08.02.2014
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슬라이드 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사
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슬라이드 23
출처
대수학과 분석의 시작, 10-11학년, 파트 1. 교과서, 10판. (기본 수준), A.G. Mordkovich, M., 2009 대수 및 분석 시작, 10-11학년. (기본 수준) 교사를 위한 방법론적 매뉴얼, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 표는 MS Word 및 MS Excel로 편집됩니다. 인터넷 리소스
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, 수학 교사
08.02.2014
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베르누이 공식

Belyaeva T.Yu. GBPOU CC "AMT", Armavir 수학 선생님

확률 이론 및 수학적 분석의 창시자 중 한 명

파리 과학 아카데미(1699) 및 베를린 과학 아카데미(1701)의 외국인 회원

요한 베르누이의 형(베르누이 가문의 가장 유명한 일원)

야콥 베르누이 (1654-1705)

스위스 수학자

생산하자 피 각각의 사건 A가 발생할 확률은 다음과 같은 독립 시행 아르 자형 , 따라서 일어나지 않을 확률은 q = 1 - p .

에 대한 확률을 구하는 것이 필요하다. 피 연속 테스트 이벤트 A는 정확히 발생합니다. 티 한번.

필요한 확률은 다음과 같이 표시됩니다. 아르 자형 피 ( 티 ) .

그것은 분명하다

피 1 (1) = 피, 피 1 (0) = q

아르 자형 1 (1) + 피 1 (0) = p + q = 1

두 가지 테스트에서:

4가지 결과가 가능합니다.

p 2 (2) = p 2; p2(1) = 2pq; p 2 (0) = q 2

아르 자형 2 (2) + 피 2 (1) + 피 2 (0) = (p + q) 2 = 1

세 가지 테스트에서:

8가지 결과가 가능합니다.

우리는 다음을 얻습니다:

p 3 (2) = 3p 2 q

p 3 (1) = 3pq 2

아르 자형 3 (3) + 피 3 (2) + 피 3 (1) + 피 3 (0) = (p + q) 3 = 1

목적 1.

동전은 8번 던집니다. "문장"이 4번 떨어질 확률은 얼마입니까?

목적 2.

항아리에 20개의 공이 있습니다: 흰색 15개와 검은색 5개. 그들은 연속으로 5개의 공을 꺼냈고, 꺼낸 공은 다음 공을 꺼내기 전에 항아리에 다시 넣었습니다. 뽑힌 공 5개 중 흰색 공이 2개 나올 확률을 구하십시오.

확률을 구하는 공식 V 피 시련 이벤트가 올 것입니다 :

ㅏ) t회 미만

아르 자형 피 (0) + ... + 피 피 (t-1)

비) t배 이상

아르 자형 피 (m + 1) + ... + p 피 (피)

V) t회 이하

아르 자형 피 (0) + ... + 피 피 (티)

G) 적어도 t 번

아르 자형 피 (t) + ... + 피 피 (피)

목적 3.

자동 기계에서 비표준 부품을 제조할 확률은 0.02입니다. 무작위로 추출한 6개의 부품 중 4개 이상의 표준 부품이 있을 확률을 결정합니다.

이벤트 A - « 4개 이상의 표준 부품"(5 또는 6) 의미

« 1개 이하의 결함 부품"(0 또는 1)

생산하자 피 독립적인 테스트. 이러한 각 테스트에서 이벤트 A가 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있습니다. 사건 A의 발생 확률.

그러한 숫자를 찾는 것이 필요합니다 μ (0, 1, ..., n), 확률 Pn(μ)이 가장 높습니다.

작업 4.

이 기업에서 프리미엄 제품의 점유율은 31%입니다. 75개 항목의 배치가 선택된 경우 "추가" 항목의 가능성이 가장 높은 항목 수는 얼마입니까?

조건에 따라: n = 75, p = 0.31, q = 1 - 0.31 = 0.69

작업 6.

두 명의 저격수가 목표물을 쏘고 있습니다. 첫 번째 사수의 경우 한 번의 실패 확률은 0.2이고 두 번째의 경우는 0.4입니다. 저격수가 25발의 발리를 쏘는 경우 목표물을 맞추지 못할 가능성이 가장 높은 발리 수를 찾으십시오.

조건에 따라: n = 25, p = 0.2 0.4 = 0.08, q = 0.92

반복되는 독립 시행은 각 시행에 두 가지 가능한 결과만 있고 결과 확률이 모든 시행에 대해 동일하게 유지되는 경우 베르누이 시행이라고 합니다.

이 확률을 다음과 같이 표시합시다. 피그리고 큐... 확률이 있는 결과 피"성공"이라고 하며 결과는 확률로 큐- "실패".

그것은 분명하다

각 시도의 기본 이벤트 공간은 2개의 포인트로 구성됩니다. 를 위한 초등 행사 공간 N Bernoulli의 검정에는 점들이 포함되어 있으며, 각 점은 복합 실험의 가능한 한 가지 결과를 나타냅니다. 시행은 독립적이므로 일련의 사건의 확률은 해당 결과의 확률의 곱과 같습니다. 예를 들어, 일련의 사건의 확률

(U, U, H, U, H, H, H)

제품과 동일

베르누이 테스트의 예.

1. "정확한" 동전을 연속으로 던지십시오. 이 경우 피 = 큐 = 1/2 .

비대칭 동전을 던지면 해당 확률에 따라 값이 변경됩니다.

2. 실험의 각 결과는 다음과 같이 간주될 수 있습니다. ㅏ또는 .

3. 가능한 결과가 여러 개인 경우 결과 그룹을 "성공"으로 간주하여 다른 모든 결과를 "실패"라고 하는 것으로 구분할 수 있습니다.

예를 들어, 주사위를 연속적으로 던질 때 "성공"은 5가 나온 것으로 이해될 수 있고 "실패"는 다른 수의 점수가 떨어지는 것으로 이해될 수 있습니다. 이 경우 피 = 1/6, 큐 = 5/6.

"성공"이 짝수의 손실을 의미하고 "실패"-홀수 점수를 의미하는 경우 피 = 큐 = 1/2 .

4. 각 테스트에서 포함된 항아리에서 반복적으로 우발적으로 볼을 꺼냄 ㅏ 백인과 비검은 공. 성공이란 흰 공의 추출을 의미한다면,.

Feller는 Bernoulli 테스트 계획의 실제 적용에 대한 다음 예를 제공합니다. 양산형 와셔는 두께가 다를 수 있으나, 두께가 규정된 범위 내인지 여부에 따라 검사결과 불량품으로 분류됩니다. 여러 가지 이유로 제품이 베르누이 체계를 완전히 준수하지 않을 수 있지만 이 체계는 이 표준이 결코 정확하게 달성되지는 않았지만 이 체계는 제품의 산업적 품질 관리를 위한 이상적인 표준을 설정합니다. 기계는 변경될 수 있으므로 확률은 동일하게 유지되지 않습니다. 기계의 작동 모드에는 어느 정도 일관성이 있으며, 그 결과 테스트가 진정으로 독립적인 경우보다 긴 일련의 동일한 편차가 발생할 가능성이 더 큽니다. 그러나 제품 품질 관리의 관점에서 공정은 베르누이 방식을 따르는 것이 바람직하며 일부 제한 내에서 이것이 달성될 수 있다는 것이 중요합니다. 모니터링의 목적은 초기 단계에서 이상적인 계획에서 상당한 편차를 감지하고 이를 기계의 올바른 작동에 대한 위협적인 위반의 표시로 사용하는 것입니다.

"수학적 통계의 요소" - 신뢰 구간. 과학. 가설의 분류. 부품은 다른 기계에서 제조됩니다. 유효성 검사 규칙. 상관 의존성. 탐닉. 기준 값의 집합입니다. 신뢰 구간을 찾으십시오. 알 수 없는 분산에 대한 신뢰 구간 계산. 정규 분포.

"확률 및 수학 통계"- 얻은 값의 정확도. 안전한 암호. 기술 통계. 사과. 이벤트를 고려하십시오. 곱셈의 법칙. 두 개의 화살표입니다. 훈련 프로그램의 비교. 캐러멜. 막대 차트의 예. 수학 점수. 3에 대한 곱셈 규칙. 흰색과 빨간색 장미입니다. 9개의 다른 책. 겨울 방학.

"수학적 통계의 기초" - 조건부 확률. 표준화된 값 표. 학생 분포의 속성입니다. 수학적 기대의 신뢰 구간. 표본 평균. 분포. 하나의 테스트는 하나의 테스트의 시리즈로 간주될 수 있습니다. 분위수 - 왼쪽은 분위수 색인에 해당하는 값의 수여야 합니다.

"확률 이론 및 통계" - 간격의 경계. 중요 영역. 확률 곱셈 정리. 정규 확률 변수의 분포. 베르누이 공식의 유도. 확률 변수의 분포 법칙. ZBCH의 공식화. 중심극한정리의 의미와 공식. 명목상 특징의 관계. 두 확률 변수의 확률적 종속성.

"통계 연구" - 관련성. 통계적 특성 및 연구. 계획. 스윙은 데이터 시리즈에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이입니다. 정적 관찰의 유형. 수학 공부를 좋아하세요? 일련의 숫자를 고려하십시오. 수학에서 어려운 주제를 분류하도록 도와주는 사람. 미래 직업에 수학이 필요합니까?

"기본 통계 특성" - 기본 통계 특성. 산술 평균을 찾으십시오. 페트로니우스. 강타. 행 패션. 일련의 숫자의 산술 평균입니다. 시리즈의 범위입니다. 계열의 중앙값입니다. 통계. 중앙값. 학교 노트북입니다.

총 17개의 프레젠테이션이 있습니다.

연방 교육 기관

주립 교육 기관

고등 전문 교육

"MATI"  러시아 주립 공과 대학 IM. 케. 치올코프스키

부서 "시스템 및 정보 기술 모델링"

테스트의 반복. 베르누이 방식

실습을 위한 체계적인 지침

"고등 수학"분야에서

편집자: Egorova Yu.B.

마모노프 I.M.

모스크바 2006 소개

체계적인 지침은 전문 분야 150601, 160301, 230102의 교수진 14번의 낮과 저녁 부서의 학생들을 대상으로 합니다. 지침은 주제의 기본 개념을 강조하고 자료를 공부하는 순서를 결정합니다. 많은 수의 고려 된 예가 주제의 실질적인 숙달에 도움이됩니다. 체계적인 지침은 실제 교육 및 개별 과제를 위한 방법론적 기초 역할을 합니다.

BERNULLY의 계획. 공식 BERNULLI

베르누이 방식- 반복되는 독립적인 테스트 계획 ㅏ일정한 확률로 여러 번 반복될 수 있음 아르 자형 (ㅏ)= 아르 자형 .

Bernoulli 방식에 따라 수행된 테스트의 예: 동전이나 주사위를 여러 번 던지기, 부품 배치 만들기, 과녁에 쏘기 등

정리.사건이 일어날 가능성이 있는 경우 ㅏ각 테스트에서 일정하고 같음 아르 자형, 그 다음 사건이 일어날 확률 ㅏ올 것이다 중한 번 N테스트(순서에 관계없이)는 다음 베르누이 공식에 의해 결정될 수 있습니다.

어디 큐 = 1 – 피.

예 1.하루 동안의 전력 소비가 설정된 요금을 초과하지 않을 확률은 다음과 같습니다. 피 = 0,75. 다음 6일 동안 4일 동안의 전력 소비가 표준을 초과하지 않을 확률을 구하십시오.

해결책. 각 6일 동안의 정상 전력 소비 확률은 일정하고 다음과 같습니다. 아르 자형= 0.75. 결과적으로 하루에 과도한 전력 소비의 확률도 일정하고 다음과 같습니다. 큐 = 1아르 자형 = 1  0,75 = 0,25.

베르누이 공식에 따라 필요한 확률은 다음과 같습니다.

예 2.저격수는 목표물을 세 발 발사합니다. 각 사격으로 목표물을 명중할 확률은 피 = 0,3. 다음 확률을 구하십시오. b) 세 가지 목표 모두 c) 단일 대상이 아닙니다. d) 적어도 하나의 표적; e) 2개 미만의 표적.

해결책. 각 발사로 목표물을 명중할 확률은 일정하고 다음과 같습니다. 아르 자형= 0.75. 따라서 미스 확률은 큐 = 1 아르 자형= 1  0.3 = 0.7. 수행된 총 실험 수 N=3.

a) 세 발로 하나의 표적을 명중할 확률은 다음과 같습니다.

b) 세 발의 사격으로 세 목표를 모두 명중할 확률은 다음과 같습니다.

c) 3번의 슛에서 3번의 실패 확률은 다음과 같습니다.

d) 세 발로 적어도 하나의 표적을 명중할 확률은 다음과 같습니다.

e) 2개 미만의 표적을 명중할 확률, 즉 하나의 표적이 되거나 없는 경우:

지역 및 적분 Moivre-Laplace 정리

많은 수의 테스트가 수행되는 경우 공식에는 엄청난 수에 대한 연산이 필요하기 때문에 Bernoulli 공식을 사용하여 확률을 계산하는 것은 기술적으로 어렵습니다. 따라서 일반적으로 확률을 계산하기 위한 더 간단한 근사 공식이 있습니다. N... 이러한 공식은 점근적이라고 하며 지역 및 적분 라플라스 정리인 푸아송 정리에 의해 결정됩니다.

Moivre-Laplace의 지역 정리. ㅏ ㅏ일어날 것이다 중한 번 N N (N →∞ )는 대략 다음과 같습니다.