이 경우 이벤트를 독립이라고 합니다. 확률 이론

18.12.2021

종속 사건과 독립 사건을 구별하십시오. 두 이벤트 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생 가능성을 변경하지 않는 경우 두 이벤트를 독립 이벤트라고 합니다. 예를 들어, 작업장에 생산 조건에 의해 상호 연결되지 않은 두 개의 자동 라인이 있는 경우 이러한 라인의 중지는 독립적인 이벤트입니다.

여러 이벤트가 호출됩니다. 집단적으로 독립적인그들 중 하나가 다른 이벤트 및 다른 이벤트의 조합에 의존하지 않는 경우.

이벤트가 호출됩니다 매달린그들 중 하나가 다른 하나의 가능성에 영향을 미치는 경우. 예를 들어, 두 개의 생산 단위가 단일 기술 주기로 연결됩니다. 그런 다음 그 중 하나가 실패할 확률은 다른 하나의 상태에 따라 다릅니다. 다른 사건 A의 발생을 가정하여 계산된 하나의 사건 B의 확률을 조건부 확률이벤트 B 및 P(A | B)로 표시됩니다.

사건 A로부터 사건 B의 독립 조건은 P(B | A) = P(B) 형식으로 작성되고 종속 조건은 P(B | A) ≠ P(B) 형식으로 작성됩니다.

Bernoulli의 시행에서 사건의 확률. 푸아송의 공식.

반복되는 독립적인 테스트, 베르누이 테스트 또는 베르누이 방식이러한 테스트는 각 테스트에 대해 이벤트 A의 발생 또는 이러한 이벤트의 확률이 모든 테스트에 대해 변경되지 않은 상태로 유지되는 두 가지 결과만 있는 경우 호출됩니다. 이 간단한 무작위 테스트 계획은 확률 이론에서 매우 중요합니다.

Bernoulli 테스트의 가장 유명한 예는 올바른(대칭 및 균질한) 동전을 연속적으로 던지는 실험입니다. 여기서 이벤트 A는 예를 들어 "국장"("꼬리")의 출현입니다.

어떤 실험에서 사건 A의 확률은 다음과 같습니다. 피(A) = 피, 그러면 p + q = 1입니다. 개별 시도가 독립적이라고 가정하고 실험을 n번 수행해 봅시다. 첫 번째 k 테스트에서만 정확히 k 번 이벤트 A가 발생할 확률을 찾자. n개의 테스트에서 이벤트 A가 첫 번째 테스트에서 정확히 k번 나타나는 이벤트를 가정합니다. 이벤트는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

실험이 독립적이라고 가정했기 때문에

41) [2페이지]임의의 순서로 n개의 테스트에서 이벤트 A가 k 번 발생하는 문제를 제기하면 이벤트는 다음 형식으로 표시될 수 있습니다.

이 등식의 우변에 있는 다른 항의 수는 n에서 k까지의 시행 횟수와 같으므로 우리가 나타낼 사건의 확률은 다음과 같습니다.

일련의 사건은 완전한 독립 사건 그룹을 형성합니다. ... 사실, 사건의 독립성으로부터 우리는 다음을 얻습니다.

만약 사건이 발생했을 때 사건의 확률은 변경되지 않으면 이벤트 그리고 라고 독립적 인.

정리:두 개의 독립적인 사건이 공동으로 발생할 확률 그리고 (공장 그리고 )는 이러한 사건의 확률의 곱과 같습니다.

실제로, 이후 이벤트 그리고 그럼 독립
... 이 경우 사건의 곱의 확률 공식은 그리고 형태를 취합니다.

이벤트
라고 쌍으로 독립둘 중 하나라도 독립적인 경우.

이벤트
라고 집단적으로 독립(또는 그냥 독립)각각의 두 사건이 독립적이고 각 사건과 다른 사건의 모든 가능한 곱이 독립적인 경우.

정리:집합에서 유한한 수의 독립적인 사건의 곱의 확률
는 이러한 사건의 확률의 곱과 같습니다.

종속 사건과 독립 사건에 대한 사건의 곱 확률 공식 적용의 차이점을 예를 들어 설명하겠습니다.

실시예 1... 첫 번째 사수가 목표물을 명중할 확률은 0.85, 두 번째 사수가 0.8입니다. 총은 한 발씩 발사되었습니다. 적어도 하나의 포탄이 목표물을 명중할 확률은 얼마입니까?

솔루션: P(A + B) = P(A) + P(B) –P(AB) 샷이 독립적이므로

P(A + B) = P(A) + P(B) –P(A) * P(B) = 0.97

실시예 2... 항아리에는 2개의 빨간색 공과 4개의 검은색 공이 들어 있습니다. 2 개의 볼이 연속으로 꺼집니다. 두 공이 모두 빨간색일 확률은 얼마입니까?

솔루션: 1 케이스. 이벤트 A - 첫 번째 제거에서 빨간 공의 출현, 이벤트 B - 두 번째 제거. 이벤트 C - 두 개의 빨간 공이 나타납니다.

P(C) = P(A) * P(B/A) = (2/6) * (1/5) = 1/15

2 케이스. 제거된 첫 번째 공은 바구니에 반환됩니다.

P(C) = P(A) * P(B) = (2/6) * (2/6) = 1/9

총 확률의 공식.

이벤트하자 일치하지 않는 이벤트 중 하나에서만 발생할 수 있습니다.
완전한 그룹을 형성합니다. 예를 들어, 상점은 세 개의 기업으로부터 동일한 제품을 다른 수량으로 받습니다. 이러한 기업에서 저품질 제품이 출시될 가능성은 다릅니다. 항목 중 하나가 무작위로 선택됩니다. 이 제품의 품질이 낮을 가능성을 결정해야 합니다(이벤트 ). 여기 이벤트
해당 기업의 제품 중에서 제품을 선택하는 것입니다.

이 경우 사건의 확률은 이벤트 제품의 합계로 볼 수 있습니다.
.

일치하지 않는 사건의 확률에 대한 덧셈 정리에 의해 다음을 얻습니다.
... 확률 곱셈 정리를 사용하여 다음을 찾습니다.

결과 공식은 총 확률 공식.

베이즈 공식

이벤트하자 중 하나와 동시에 발생 일관성 없는 사건
누구의 확률
(
) 실험 이전에 알려진( 선험적 확률). 실험이 수행되어 이벤트의 발생이 등록됩니다. , 그리고 이 이벤트에는 특정 조건부 확률이 있는 것으로 알려져 있습니다.
(
). 사건의 확률을 찾는 것이 필요합니다.
이벤트가 발생한 것으로 알려진 경우 일어난 ( 사후 확률).

문제는 새로운 정보를 가지고(사건 A가 발생했음) 사건의 확률을 과대평가할 필요가 있다는 것입니다.
.

두 사건의 곱의 확률에 대한 정리에 기초

결과 공식은 베이즈의 공식.

조합론의 기본 개념.

여러 이론 및 실제 문제를 풀 때 주어진 규칙에 따라 유한 요소 집합에서 다양한 조합을 구성하고 가능한 모든 조합의 수를 계산해야 합니다. 이러한 작업은 일반적으로 조합의.

문제를 풀 때 조합론자는 합과 곱의 규칙을 사용합니다.

수학 시험의 과제에는 확률에 대한 더 복잡한 문제가 있습니다(1부에서 고려한 것보다). 여기서 더하기, 확률 곱하기, 결합 및 양립할 수 없는 이벤트를 구별해야 하는 규칙을 적용해야 합니다.

그래서 이론.

공동 및 호환되지 않는 이벤트

이벤트 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생을 배제하는 경우 이벤트를 불일치라고 합니다. 즉, 하나의 특정 이벤트 또는 다른 이벤트만 발생할 수 있습니다.

예를 들어 주사위를 던지면 짝수 포인트와 홀수 포인트와 같은 이벤트를 구별할 수 있습니다. 이러한 이벤트는 일관성이 없습니다.

이벤트 중 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생을 배제하지 않는 경우 이벤트를 공동 이벤트라고 합니다.

예를 들어, 주사위를 던지면 홀수 포인트와 3포인트의 배수와 같은 이벤트를 구별할 수 있습니다. 세 번 굴리면 두 이벤트가 모두 발생합니다.

이벤트 합계

여러 사건의 합(또는 조합)은 이러한 사건 중 적어도 하나의 발생으로 구성된 사건입니다.

어디에서 두 개의 호환되지 않는 이벤트의 합 는 다음 사건의 확률의 합입니다.

예를 들어, 주사위 한 번으로 5 또는 6점을 얻을 확률은 두 이벤트(롤 5, 주사위 6)가 일치하지 않고 하나 또는 두 번째 이벤트가 발생할 확률이 다음과 같이 계산되기 때문입니다.

가능성 두 개의 공동 이벤트의 합 는 공동 발생을 고려하지 않고 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다.

예를 들어, 쇼핑 센터에서 두 개의 동일한 자판기가 커피를 판매합니다. 하루가 끝날 때까지 기계에 커피가 떨어질 확률은 0.3입니다. 두 기계 모두에서 커피가 떨어질 확률은 0.12입니다. 하루가 끝날 때까지 커피가 적어도 하나의 기계(즉, 한 기계나 다른 기계, 또는 두 기계 모두에서 동시에)에서 떨어질 확률을 구해 봅시다.

조건에 따라 첫 번째 이벤트 "커피가 첫 번째 머신에서 다 떨어졌다"의 확률과 두 번째 이벤트 "두 번째 머신에서 커피가 끝납니다"의 확률은 0.3과 같습니다. 이벤트는 공동 작업입니다.

조건별 처음 두 이벤트의 공동 실현 확률은 0.12입니다.

이것은 하루가 끝날 때까지 적어도 하나의 기계에 커피가 떨어질 확률을 의미합니다.

종속 및 독립 이벤트

두 개의 무작위 사건 A와 B는 그 중 하나의 발생이 다른 하나의 발생 확률을 변경하지 않는 경우 독립이라고 합니다. 그렇지 않으면 이벤트 A와 B를 종속이라고 합니다.

예를 들어 두 개의 주사위가 동시에 굴려지면 그 중 하나의 낙진(예: 1)과 두 번째 5의 낙진은 독립적인 이벤트입니다.

확률의 곱

여러 사건의 곱(또는 교집합)은 이 모든 사건의 합동 출현으로 구성된 사건이다.

두 가지가 발생하면 독립 행사확률이 각각 P(A) 및 P(B)인 A와 B, 이벤트 A와 B의 발생 확률은 동시에 확률의 곱과 같습니다.

예를 들어 주사위에서 6이 연속으로 두 번 나오는 결과에 관심이 있습니다. 두 사건 모두 독립적이며 각각이 개별적으로 실현될 확률은 입니다. 이러한 두 가지 이벤트가 모두 발생할 확률은 위의 공식을 사용하여 계산됩니다.

주제를 해결하기 위한 작업 선택을 참조하십시오.

많은 사람들이 다소 무작위적인 사건을 계산하는 것이 가능한지 여부에 대해 생각하지 않을 것입니다. 간단히 말해서 주사위의 어느 면이 다음에 나오는지 아는 것이 현실적입니까? 사건의 확률이 상당히 광범위하게 연구되는 확률 이론과 같은 과학의 기초를 마련한 두 명의 위대한 과학자가 던진 질문은 바로 이 질문이었습니다.

처음

확률 이론과 같은 개념을 정의하려고 시도하면 다음을 얻습니다. 이것은 무작위 사건의 불변성에 대한 연구를 다루는 수학의 한 분야입니다. 물론 이 개념이 실제로 전체의 본질을 드러내는 것은 아니므로 좀 더 깊이 생각해 볼 필요가 있다.

나는 이론의 창시자들과 함께 시작하고 싶습니다. 위에서 언급했듯이 그들 중 두 명이 있었는데 이것은 공식과 수학적 계산을 사용하여 사건의 결과를 계산하기 위해 처음으로 시도한 사람들 중 하나였습니다. 전체적으로 이 과학의 기초는 중세 시대에 나타났습니다. 당시 다양한 사상가와 과학자들은 룰렛, 크랩 등의 도박 게임을 분석하여 특정 숫자의 발생 패턴과 비율을 설정하려고 했습니다. 기초는 앞서 언급한 과학자들에 의해 17세기에 마련되었습니다.

처음에 그들의 작업은 이 분야의 위대한 업적을 돌릴 수 없었습니다. 그들이 한 모든 것은 단순히 경험적 사실이었고, 실험은 공식을 사용하지 않고 시각적으로 설정되었기 때문입니다. 시간이 지남에 따라 뼈가 던지는 것을 관찰 한 결과 나타난 훌륭한 결과를 얻었습니다. 최초의 이해 가능한 공식을 도출하는 데 도움이 된 것은 이 도구였습니다.

마음이 맞는 사람들

"확률 이론"(사건의 확률은 바로 이 과학에서 다룬다)이라는 주제를 연구하는 과정에서 Christian Huygens와 같은 사람을 언급하지 않는 것은 불가능합니다. 이 사람은 매우 흥미롭습니다. 그는 위에 제시된 과학자들처럼 수학 공식의 형태로 무작위 사건의 규칙성을 추론하려고 시도했습니다. 그가 Pascal과 Fermat와 함께 이것을하지 않았다는 것, 즉 그의 모든 작품이 이러한 마음과 교차하지 않았다는 것은 주목할 만합니다. 호이겐스가 가져온

흥미로운 사실은 그의 작업이 발견자들의 노력의 결과보다 훨씬 이전에, 아니 오히려 20년 전에 나왔다는 것입니다. 지정된 개념 중에서 가장 유명한 것은 다음과 같습니다.

기회의 크기로서의 확률의 개념;
이산 사례에 대한 수학적 기대치;
확률의 곱셈과 덧셈의 정리.

또한 문제 연구에 상당한 기여를 한 사람을 기억하지 않는 것도 불가능합니다. 자신의 독립적인 테스트를 수행하여 그는 대수 법칙의 증거를 제시할 수 있었습니다. 차례로, 19세기 초에 일했던 과학자 푸아송과 라플라스는 원래의 정리를 증명할 수 있었습니다. 이때부터 관측 과정에서 발생하는 오류를 분석하기 위해 확률 이론이 사용되기 시작했습니다. 러시아 과학자, 또는 오히려 Markov, Chebyshev 및 Dyapunov도 이 과학을 우회할 수 없었습니다. 그들은 위대한 천재들이 수행한 작업을 기반으로 이 주제를 수학의 한 분야로 통합했습니다. 이 수치는 이미 19 세기 말에 작동했으며 기여 덕분에 이러한 현상은 다음과 같이 입증되었습니다.

큰 수의 법칙;
마르코프 사슬 이론;
중심극한정리.

따라서 과학 탄생의 역사와 과학에 영향을 준 주요 인물을 보면 모든 것이 다소간 명확해집니다. 이제 모든 사실을 구체화할 때입니다.

기본 개념

법칙과 정리를 다루기 전에 확률 이론의 기본 개념을 공부할 가치가 있습니다. 그 사건에서 주도적인 역할을 한다. 이 주제는 상당히 방대하지만 그것 없이는 다른 모든 것을 이해할 수 없습니다.

확률 이론에서 사건은 실험 결과의 집합입니다. 이 현상에 대한 개념은 그리 많지 않습니다. 따라서 이 분야에서 일하는 과학자 Lotman은 이 경우 "일어나지 않았을 수도 있지만" 일어난 일에 대해 이야기하고 있다고 말했습니다.

무작위 사건(확률 이론은 특별한 주의를 기울임)은 발생할 수 있는 능력이 있는 모든 현상을 절대적으로 함축하는 개념입니다. 또는 반대로 많은 조건이 충족되면 이 시나리오가 발생하지 않을 수 있습니다. 발생한 현상의 전체 볼륨을 포착하는 것은 무작위 이벤트라는 것을 아는 것도 가치가 있습니다. 확률 이론은 모든 조건이 항상 반복될 수 있음을 나타냅니다. "실험" 또는 "시험"이라고 불리는 것은 그들의 행위였습니다.

신뢰할 수 있는 이벤트는 주어진 테스트에서 100% 발생하는 이벤트입니다. 따라서 불가능한 사건은 일어나지 않을 것입니다.

한 쌍의 동작(조건부 케이스 A와 케이스 B)을 결합하는 것은 동시에 발생하는 현상입니다. 그들은 AB라고합니다.

이벤트 A와 B의 쌍의 합은 C입니다. 즉, 이벤트 중 하나 이상이 발생하면(A 또는 B) C가 됩니다. 설명된 현상에 대한 공식은 다음과 같이 작성됩니다. C = A + 나.

확률 이론에서 일치하지 않는 사건은 두 사건이 상호 배타적임을 의미합니다. 그것들은 결코 동시에 일어날 수 없습니다. 확률 이론의 공동 사건은 그들의 대척점입니다. 이것은 A가 발생하면 B를 방해하지 않는다는 것을 의미합니다.

반대 사건(확률 이론은 사건을 매우 자세히 고려함)은 이해하기 쉽습니다. 그들을 다루는 가장 좋은 방법은 비교하는 것입니다. 확률 이론의 일관성 없는 사건과 거의 동일합니다. 그러나 그들의 차이점은 많은 현상 중 하나가 어떤 경우에도 발생해야 한다는 사실에 있습니다.

동등하게 가능한 사건은 반복 가능성이 동일한 행동입니다. 더 명확하게 하기 위해 동전 던지기를 상상할 수 있습니다. 한쪽 면이 넘어지면 다른 쪽 면도 떨어질 가능성이 동일합니다.

상서로운 사건은 예를 들어 더 쉽게 볼 수 있습니다. 에피소드 B와 에피소드 A가 있다고 가정해 봅시다. 첫 번째는 홀수가 있는 주사위를 굴리는 것이고 두 번째는 주사위에서 숫자 5가 나타나는 것입니다. 그러면 A는 B를 선호한다는 것이 밝혀졌습니다.

확률 이론에서 독립적인 사건은 둘 이상의 경우에만 투영되며 다른 행위로부터의 독립성을 의미합니다. 예를 들어, A는 동전을 던질 때 꼬리이고 B는 데크에서 잭을 얻습니다. 그것들은 확률 이론에서 독립적인 사건입니다. 이 순간 더 명확해졌습니다.

확률 이론의 종속 사건은 해당 집합에 대해서만 허용됩니다. 즉, 현상 B는 A가 이미 발생했거나 반대로 발생하지 않은 경우에만 발생할 수 있으며 이것이 B의 주요 조건일 때 발생합니다.

하나의 구성 요소를 사용한 무작위 실험의 결과는 기본 이벤트입니다. 확률 이론은 이것이 한 번만 발생한 현상이라고 설명합니다.

기본 공식

따라서 위에서 "사건", "확률 이론"의 개념을 고려하고 이 과학의 기본 용어에 대한 정의도 제시했습니다. 이제 중요한 공식에 대해 직접 알아볼 시간입니다. 이 표현은 확률 이론과 같은 복잡한 주제의 모든 주요 개념을 수학적으로 확인합니다. 여기서도 사건의 가능성이 큰 역할을 합니다.

주요 것들로 시작하는 것이 더 낫습니다. 그리고 그것들을 진행하기 전에 그것들이 무엇인지 고려해 볼 가치가 있습니다.

조합론은 무엇보다도 수학의 한 분야로, 엄청난 수의 정수에 대한 연구뿐만 아니라 숫자 자체와 요소, 다양한 데이터 등의 다양한 순열에 대한 연구를 처리하여 조합의 수. 확률 이론 외에도 이 산업은 통계, 컴퓨터 과학 및 암호화에 중요합니다.

이제 수식 자체와 정의에 대한 프레젠테이션을 진행할 수 있습니다.

첫 번째는 순열 수에 대한 표현식이며 다음과 같습니다.

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

방정식은 요소가 배열 순서만 다른 경우에만 적용됩니다.

이제 배치 공식을 고려할 것입니다. 다음과 같습니다.

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

이 표현은 요소가 배치되는 순서뿐만 아니라 구성에도 적용됩니다.

조합론의 세 번째 방정식이자 마지막 방정식을 조합 수에 대한 공식이라고 합니다.

C_n ^ m = n! : ((n - m))! : 중!

조합은 각각 순서가 지정되지 않은 선택이라고 하며 이 규칙이 적용됩니다.

조합론의 공식을 알아내는 것이 쉬운 것으로 판명되었으므로 이제 확률의 고전적인 정의로 이동할 수 있습니다. 이 표현식은 다음과 같습니다.

이 공식에서 m은 사건 A에 유리한 조건의 수이고 n은 절대적으로 모두 동등하게 가능한 기본 결과의 수입니다.

많은 수의 표현이 있으며 이 기사에서 모든 것을 다루지는 않겠지만, 예를 들어 사건의 합에 대한 확률과 같이 가장 중요한 표현을 다룰 것입니다.

P(A + B) = P(A) + P(B) - 이 정리는 일치하지 않는 이벤트만 추가하기 위한 것입니다.

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - 호환되는 것만 추가하기 위한 것입니다.

이벤트 발생 확률:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - 이 정리는 독립 사건에 대한 것입니다.

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A∣B)) - 그리고 이것은 종속입니다.

이벤트 공식이 목록을 종료합니다. 확률은 다음과 같은 베이즈 정리에 대해 알려줍니다.

P (H_m∣A) = (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m = 1, ..., N

이 공식에서 H 1, H 2, ..., H n 은 가설의 완전한 그룹입니다.

의 예

수학의 어떤 영역이라도 주의 깊게 공부하면 연습 문제와 샘플 솔루션 없이는 완전하지 않습니다. 확률 이론도 마찬가지입니다. 사건, 여기의 예는 과학적 계산을 확인하는 필수 구성 요소입니다.

순열 수에 대한 공식

액면가가 1인 카드 더미에 30장의 카드가 있다고 가정해 보겠습니다. 다음 질문. 1권과 2권의 카드가 나란히 있지 않도록 데크를 놓는 방법은 몇 가지가 있습니까?

작업이 설정되었으므로 이제 해결을 진행해 보겠습니다. 먼저 30개 요소의 순열 수를 결정해야 합니다. 이를 위해 위에 제시된 공식을 사용하면 P_30 = 30 !입니다.

이 규칙에 따라 덱을 다양한 방식으로 접을 수 있는 옵션이 몇 개 있는지 알아내지만 첫 번째 카드와 두 번째 카드가 나란히 있는 옵션을 빼야 합니다. 이렇게 하려면 첫 번째가 두 번째 위에 있을 때 옵션부터 시작하겠습니다. 첫 번째 카드는 29자리를 차지할 수 있습니다. 첫 번째 카드부터 29번째 카드까지, 두 번째 카드부터 30자리까지 두 번째 카드는 한 쌍의 카드에 대해 29자리만 차지할 수 있습니다. 차례로 나머지는 28석을 차지할 수 있으며 특별한 순서는 없습니다. 즉, 28개의 카드 순열에 대해 28개의 옵션 P_28 = 28이 있습니다!

결과적으로 첫 번째 카드가 두 번째 카드 위에 있을 때 솔루션을 고려하면 29 ⋅ 28개의 추가 기회가 있다는 것이 밝혀졌습니다! = 29!

같은 방법을 사용하여 첫 번째 카드가 두 번째 카드 아래에 있는 경우 중복 옵션 수를 계산해야 합니다. 그것은 또한 29 ⋅ 28로 밝혀졌습니다! = 29!

이로부터 2 ⋅ 29개의 추가 옵션이 있다는 것을 알 수 있습니다! 덱을 구성하는 데 필요한 30가지 방법이 있습니다! - 2 ⋅ 29 !. 계산하는 일만 남았습니다.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

이제 1에서 29까지의 모든 숫자를 서로 곱한 다음 끝에 28을 곱해야 합니다. 답은 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32입니다.

솔루션 예시. 배치 번호 공식

이 작업에서는 총 30권이 있는 조건에서 한 선반에 15권을 놓는 방법이 몇 가지인지 알아내야 합니다.

이 문제의 해결 방법은 이전 문제보다 약간 더 간단합니다. 이미 알려진 공식을 사용하여 15권의 30권에서 총 위치 수를 계산해야 합니다.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

답은 각각 202 843 204 931 727 360 000입니다.

이제 좀 더 어려운 작업을 수행해 보겠습니다. 한 선반에 15권만 놓을 수 있는 경우 두 개의 책장에 30권의 책을 배열하는 방법이 몇 가지인지 알아내야 합니다.

솔루션을 시작하기 전에 몇 가지 문제가 여러 가지 방법으로 해결된다는 점을 분명히 하고 싶습니다. 이 방법에는 두 가지 방법이 있지만 둘 다 동일한 공식이 적용됩니다.

이 문제에서는 다른 방법으로 15권의 책 선반을 채울 수 있는 횟수를 계산했기 때문에 이전 문제에서 답을 얻을 수 있습니다. A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16으로 밝혀졌습니다.

15권의 책이 들어갈 수 있고 총 15권이 들어 있기 때문에 순열 공식을 사용하여 두 번째 선반을 계산합니다. 우리는 공식 P_15 = 15 !를 사용합니다.

합계는 A_30 ^ 15 ⋅ P_15 방법이 될 것이지만, 또한 30에서 16까지의 모든 숫자의 곱에 1에서 15까지의 숫자의 곱을 곱해야 하므로 결과적으로 제품 1에서 30까지의 모든 숫자 중 하나를 얻을 수 있습니다. 즉, 답은 30입니다!

그러나이 문제는 다른 방법으로 해결할 수 있습니다. 더 쉽습니다. 이렇게 하려면 30권의 책을 위한 하나의 선반이 있다고 상상할 수 있습니다. 모두 이 평면에 놓여 있지만, 조건에 두 개의 선반이 있어야 하기 때문에 긴 하나를 반으로 보았으므로 2에서 15로 나타났습니다. 이로부터 배치 옵션이 P_30 = 30 !일 수 있음이 밝혀졌습니다.

솔루션 예시. 조합 수에 대한 공식

이제 우리는 조합론의 세 번째 문제의 변형을 고려할 것입니다. 30권에서 정확히 같은 책을 선택해야 하는 경우 15권의 책을 배열하기 위해 몇 가지 방법이 있는지 알아내야 합니다.

물론 솔루션의 경우 조합 수에 대한 공식이 적용됩니다. 조건으로부터 동일한 15권의 책의 순서가 중요하지 않다는 것이 분명해집니다. 따라서 처음에는 15권의 30권의 책의 총 조합 수를 찾아야 합니다.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15 ! = 155 117 520

그게 다야. 이 공식을 사용하여 가능한 가장 짧은 시간에 이러한 문제를 풀 수 있는 답은 각각 155,117,520입니다.

솔루션 예시. 확률의 고전적 정의

위의 공식을 사용하면 간단한 문제에서 답을 찾을 수 있습니다. 그러나 시각적으로 행동 과정을보고 추적하는 데 도움이 될 것입니다.

문제에서는 항아리에 절대적으로 동일한 10개의 공이 있다고 합니다. 이 중 4개는 노란색이고 6개는 파란색입니다. 항아리에서 공 하나를 가져옵니다. 파란색이 될 확률을 알아야 합니다.

문제를 해결하려면 이벤트 A로 파란 공의 도달을 지정해야 합니다. 이 경험은 10개의 결과를 가질 수 있으며, 이는 차례로 기본적이고 동등하게 가능합니다. 동시에 10개 중 6개는 이벤트 A에 유리합니다. 우리는 공식에 의해 결정합니다.

P(A) = 6: 10 = 0.6

이 공식을 사용하여 파란색 공에 도달하는 능력이 0.6임을 배웠습니다.

솔루션 예시. 사건의 합 확률

이제 이벤트 합계 확률 공식을 사용하여 해결되는 변형이 제공됩니다. 따라서 두 개의 상자가 있다고 가정하면 첫 번째 상자에는 회색 공 1개와 흰색 공 5개, 두 번째 상자에는 회색 공 8개와 흰색 공 4개가 있습니다. 결과적으로 첫 번째와 두 번째 상자에서 그 중 하나를 가져 왔습니다. 당신은 당신이 얻는 공이 회색과 흰색이 될 가능성이 무엇인지 알아내야 합니다.

이 문제를 해결하려면 이벤트를 지정해야 합니다.

따라서 A는 첫 번째 상자에서 회색 공을 가져갔습니다. P (A) = 1/6.
A '- 그들은 또한 첫 번째 상자에서 흰색 공을 가져갔습니다: P (A ") = 5/6.
B - 회색 공이 두 번째 상자에서 제거되었습니다: P (B) = 2/3.
B '-두 번째 상자에서 회색 공을 가져 왔습니다 : P (B ") = 1/3.

문제의 조건에 따라 현상 중 하나가 발생해야 합니다: AB '또는 AB. 공식을 사용하여 P(AB ") = 1/18, P(A" B) = 10/18을 얻습니다.

이제 확률을 곱하는 공식이 사용되었습니다. 또한 답을 찾으려면 덧셈 방정식을 적용해야 합니다.

P = P(AB "+ A" B) = P(AB ") + P(A" B) = 11/18.

이것이 공식을 사용하여 유사한 문제를 푸는 방법입니다.

결과

이 기사는 사건의 확률이 중요한 역할을 하는 "확률 이론"이라는 주제에 대한 정보를 제공했습니다. 물론 모든 것이 고려되지는 않았지만 제시된 텍스트를 기반으로 이론적으로 수학의이 섹션에 익숙해 질 수 있습니다. 해당 과학은 전문적인 업무뿐만 아니라 일상 생활에서도 유용할 수 있습니다. 그것의 도움으로 모든 사건의 가능성을 계산할 수 있습니다.

텍스트는 또한 과학으로서의 확률 이론 형성의 역사에서 중요한 날짜와 그것에 투자한 사람들의 이름을 다루었습니다. 이것은 인간의 호기심이 사람들이 무작위 사건조차도 계산하는 법을 배웠다는 사실로 이어진 방법입니다. 한때 그들은 단순히 그것에 관심이 있었지만 오늘날에는 모두가 이미 그것에 대해 알고 있습니다. 그리고 아무도 미래에 우리를 기다리고 있으며 고려중인 이론과 관련된 다른 훌륭한 발견이 무엇인지 말하지 않을 것입니다. 그러나 한 가지는 확실한 것입니다. 연구는 멈추지 않습니다!

정의 1. 사건 A의 발생 확률이 사건 B의 발생 여부에 따라 달라지면 사건 A를 사건 B에 종속적이라고 하며, 사건 B가 발생한 경우 사건 A가 발생할 확률을 표기하여 다음과 같이 부른다. V가 적용되는 사건 A의 조건부 확률.

예 1. 항아리에 흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어 있습니다. 한 개의 공을 항아리에서 꺼내고(첫 번째 꺼내기) 두 번째 공을 꺼냅니다(두 번째 꺼내기). 이벤트 B - 첫 번째 제거 시 흰 공의 출현. 이벤트 A - 두 번째 제거 시 흰색 공이 나타납니다.

물론, 사건 B가 일어났을 때 사건 A의 확률은 다음과 같습니다.

사건 B가 발생하지 않았다면(첫 번째 제거에서 검은 공이 나타났음) 사건 L의 확률은 다음과 같습니다.