Что такое теория игр. Математическая теория игр

Теория игр - совокупность математических методов решения конфликтных ситуаций (столкновений интересов). В теории игр игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Предмет особого интереса теории игр - исследование стратегий принятия решений участников игры в условиях неопределённости. Неопределённость связана с тем, что две или более стороны преследуют противоположные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от ходов партнёра. При этом каждая из сторон стремится принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени.

Наиболее последовательно теория игр применяется в экономике, где конфликтные ситуации возникают, например, в отношениях между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Применение теории игр можно найти и в политике, социологии, биологии, военном искусстве.

Из истории теории игр

История теории игр как самостоятельной дисциплины начинается в 1944 году, когда Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн опубликовали книгу "Теория игр и экономическое поведение" ("Theory of Games and Economic Behavior"). Хотя примеры теории игр встречались и раньше: трактат Вавилонского Талмуда о разделе имущества умершего мужа между его жёнами, карточные игры в 18-м веке, развитие теории шахматной игры в начале 20-го века, доказательство теоремы о минимаксе того же Джона фон Неймана в 1928 году, без которой не было бы никакой теории игр.

В 50-х годах 20-го века Мелвин Дрешер и Мерил Флод из Rand Corporation первыми экспериментально применили дилемму заключённого, Джон Нэш в работах о состоянии равновесия в играх двух лиц развил понятие равновесия Нэша.

Рейнхард Сэлтен в 1965 году опубликовал книгу "Обработка олигополии в теории игр по требованию" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), с которой применение теории игр в экономике получило новую движущую силу. Шагом вперёд в эволюции теории игр связан с работой Джона Мейнарда Смита "Эволюционно стабильная стратегия" ("Evolutionary Stable Strategy", 1974). Дилемма заключённого была популяризована в книге Роберта Аксельрода "Эволюция кооперации" ("The Evolution of Cooperation"), опубликованной в 1984 году. В 1994 году именно за вклад в теорию игр Нобелевской премии были удостоены Джон Нэш, Джон Харсаньи и Рейнхард Сэлтен.

Теория игр в жизни и бизнесе

Остановимся подробнее на сути кофликтной ситуации (столкновении интересов) в том смысле, как он понимается в теории игр для дальнейшего моделирования различных ситуаций в жизни и бизнесе. Пусть индивидуум находится в таком положении, которое приводит к одному из нескольких возможных исходов, причём у индивидуума имеются по отношению к этим исходам некоторые личные предпочтения. Но хотя он может до некоторой степени управлять переменными факторами, определяющими исход, он не имеет полной власти над ними. Иногда управление находится в руках нескольких индивидуумов, которые, подобно ему, имеют какие-то предпочтения по отношению к возможным исходам, но в общем случае интересы этих индивидуумов не согласуются. В других случаях конечный исход может зависеть как от случайностей (которые в юридических науках иногда именуются стихийными бедствиями), так и от других индивидуумов. Теория игр систематизирует наблюдения за такими ситуациями и формулировки общих принципов для руководства разумными действиями в таких ситуациях.

В некоторых отношениях название "теория игр" неудачно, так как наводит на мысль, что теория игр рассматривает лишь не имеющие социального значения столкновения, происходящие в салонных играх, но всё же эта теория имеет значительно более широкое значение.

О применении теории игр может дать представление следующая экономическая ситуация. Пусть имеется несколько предпринимателей, каждый из которых стремится получить максимум прибыли, имея при этом лишь ограниченную власть над переменными, определяющими эту прибыль. Предприниматель не имеет власти над переменными, которыми распоряжается другой предприниматель, но которые могут сильно влиять на доход первого. Трактовка этой ситуации как игры может вызвать следующее возражение. В игровой модели предполагается, что каждый предприниматель делает один выбор из области возможных выборов и этими единичными выборами определяются прибыли. Очевидно, что этого почти не может быть в действительности, так как при этом в промышленности не были бы нужны сложные управленческие аппараты. Просто есть ряд решений и модификаций этих решений, которые зависят от выборов, совершённых другими участниками экономической системы (игроками). Но в принципе можно вообразить, что какой-либо администратор предвидит все возможные случайности и подробно описывает действие, которое нужно предпринимать в каждом случае, вместо того чтобы решать каждую задачу по мере её возникновения.

Военный кофликт, по определению, есть столкновение интересов, в котором ни одна из сторон не распоряжается полностью переменными, определяющими исход, который решается рядом битв. Можно просто считать исход выигрышем или проигрышем и приписать им численные значения 1 и 0.

Одна из самых простых конфликтных ситуаций, которая может быть записана и решена в теории игр - дуэль, представляющая собой конфликт двух игроков 1 и 2, имеющих соответственно p и q выстрелов. Для каждого игрока существует функция, указывающая вероятность того, что выстрел игрока i в момент времени t даст попадание, которое окажется смертельным.

В итоге теория игр приходит к такой формулировке некоторого класса столкновений интересов: имеются n игроков, и каждому нужно выбрать одну возможность из стого определённого набора, причём при совершении выбора у игрока нет никаких сведений о выборах других игроков. Область возможных выборов игрока может содержать такие элементы, как "ход тузом пик", "производство танков вместо автомобилей", или в общем смысле, стратегию, определяющую все действия, которые нужно совершить во всех возможных обстоятельствах. Перед каждым игроком стоит задача: какой выбор он должен сделать, чтобы его частное влияние на исход принесло ему как можно больший выигрыш?

Математическая модель в теории игр и формализация задач

Как мы уже отмечали, игра является математической моделью конфликтной ситуации и требует наличия следующих компонент:

1. заинтересованных сторон;
2. возможных действий с каждой стороны;
3. интересов сторон.

Заинтересованные в игре стороны называются игроками , каждый из них может предпринять не менее двух действий (если в распоряжении игрока только одно действие, то он фактически не участвует в игре, так как заранее известно, что он предпримет). Исход игры называется выигрышем .

Реальная конфликтная ситуация не всегда, а игра (в понятии теории игр) - всегда - протекает по определённым правилам , которые точно определяют:

1. варианты действий игроков;
2. объём информации каждого игрока о поведении партнёра;
3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Примерами формализованных игр могут служить футбол, карточная игра, шахматы.

Но в экономике модель поведения игроков возникает, например, когда несколько фирм стремятся занять более выгодное место на рынке, несколько лиц пытаются поделить между собой какое-либо благо (ресурсы, финансы) так, чтобы каждому досталось по возможности больше. Игроками в конфликтных ситуациях в экономике, которые можно моделировать в виде игры, являются фирмы, банки, отдельные люди и другие экономические агенты. В свою очередь в условиях войны модель игры используется, например, в выборе более лучшего оружия (из имеющегося или потенциально возможного) для разгрома противника или защиты от нападения.

Для игры характерна неопределённость результата . Причины неопределённости можно распределить по следующим группам:

1. комбинаторные (как в шахматах);
2. влияние случайных факторов (как в игре "орёл или решка", кости, карточные игры);
3. стратегические (игрок не знает, какое действие предпримет противник).

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих его действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. Определить такую стратегию - значит решить игру. Оптимальность стратегии достигается, когда один из игроков должен получить максимальный выигрыш, при том, что второй придерживается своей стратегии. А второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Классификация игр

1. Классификация по числу игроков (игра двух и более лиц). Игры двух лиц занимают центральное место во всей теории игр. Основным понятием теории игр для игры двух лиц является обобщение весьма существенной идеи равновесия, которая естественно появляется в играх двух лиц. Что же касается игр n лиц, то одна часть теории игр посвящена играм, в которых сотрудничество между игроками запрещено. В другой части теории игр n лиц предполагается, что игроки могут сотрудничать для взаимной пользы (см. далее в этом параграфе о некооперативных и кооперативных играх).
2. Классификация по числу игроков и их стратегиям (число стратегий не менее двух, может быть бесконечностью).
3. Классификация по количеству информации относительно прошлых ходов: игры с полной информацией и неполной информацией. Пусть есть игрок 1 - покупатель и игрок 2 - продавец. Если у игрока 1 нет полной информации о действиях игрока 2, то игрок 1 может и не различить две альтернативы, между которыми ему предстоит сделать выбор. Например, выбирая между двумя видами некоторого товара и не зная о том, что по некоторым признакам товар A хуже товара B , игрок 1 может не видеть различия между альтернативами.
4. Классификация по принципам деления выигрыша : кооперативные, коалиционные с одной стороны и некооперативные, бескоалиционные с другой стороны. В некооперативной игре , или иначе - бескоалиционной игре , игроки выбирают стратегии одновременно, не зная, какую стратегию выберет второй игрок. Коммуникация между игроками невозможна. В кооперативной игре , или иначе - коалиционной игре , игроки могут объединяться в коалиции и предпринимать коллективные действия, чтобы увеличить свои выигрыши.
5. Конечная игра двух лиц с нулевой суммой или антогонистическая игра – это стратегическая игра с полной информацией, в которой участвуют стороны с противоположными интересами. Анатагонистическими играми являются матричные игры .

Классический пример из теории игр - дилемма заключённого

Двух подозреваемых берут под стражу и изолируют друг от друга. Окружной прокурор убеждён, что они совершили тяжкое преступление, но не имеет достаточных доказательств, чтобы предъявить им обвинение на суде. Он говорит каждому из заключённых, что у него имеется две альтернативы: признаться в преступлении, которое по убеждению полиции он совершил, или не признаваться. Если оба не признаются, то окружной прокурор предъявит им обвинение в каком-либо незначительном преступлении, например, мелкая кража или незаконное владение оружием, и они оба получат небольшое наказание. Если они оба признаются, то будут подлежать судебной ответственности, но он не потребует самого строгого приговора. Если же один признается, а другой нет, то признавшемуся приговор будет смягчён за выдачу сообщника, в то время как упорствующий получит "на полную катушку".

Если эту стратегическую задачу сформулировать в сроках заключения, то она сводится к следующему:

Таким образом, если оба заключённых не признаются, они получат по 1 году каждый. Если оба признаются, то каждый получит по 8 лет. А если один признается, другой не признается, то тот, который признался отделается тремя месяцами заключения, а тот, который не признается, получит 10 лет. Приведённая выше матрица правильно отражает дилемму заключённого: перед каждым стоит вопрос - признаться или не признаться. Игра, которую окружной прокурор предлагает заключённым, представляет собой некооперативную игру или иначе - бескоалиционную игру . Если бы оба заключённых имели возможность сотрудничать (то есть игра была бы кооперативной или иначе коалиционной игрой ), то оба не признались бы и получили по году тюрьмы каждый.

Примеры использования математических средств теории игр

Переходим теперь к рассмотрению решений примеров распространённых классов игр, для которых в теории игр существуют методы исследования и решения.

Пример формализации некооперативной (бескоалиционной) игры двух лиц

В предыдущем параграфе мы уже рассмотрели пример некооперативной (бескоалиционной) игры (дилемма заключённого). Давайте закрепим наши навыки. Для этого подойдёт также классический сюжет, навеянный "Приключениями Шерлока Холмса" Артура Конан Дойля. Можно, конечно, возразить: пример не из жизни, а из литературы, но ведь Конан Дойль не зарекомендовал себя как писатель-фантаст! Классический ещё и потому, что задание выполнено Оскаром Моргенштерном, как мы уже установили - одним из основателей теории игр.

Пример 1. Будет приведено сокращённое изложение фрагмента одного из "Приключений Шерлока Холмса". Согласно известным понятиям теории игр составить модель конфликтной ситуации и формально записать игру.

Шерлок Холмс намерен отправиться из Лондона в Дувр с дальнейшей целю попасть на континент (европейский), чтобы спастись от профессора Мориарти, который преследует его. Сев в поезд, он увидел на вокзальной платформе профессора Мориарти. Шерлок Холмс допускает, что Мориарти может выбрать особый поезд и обогнать его. У Шерлока Холмса две альтернативы: продолжать поездку до Дувра или сойти на станции Кентерберри, являющейся единственной промежуточной станцией на его маршруте. Мы принимаем, что его противник достаточно разумен, чтобы определить возможности Холмса, поэтому перед ним те же две альтернативы. Оба противника должны выбрать станцию, чтобы сойти на ней с поезда, не зная, какое решение примет каждый из них. Если в результате принятия решения оба окажутся на одной и той же станции, то можно однозначно считать, что Шерлок Холмс будет убит профессором Мориарти. Если же Шерлок Холмс благополучно доберётся до Дувра, то он будет спасён.

Решение. Героев Конан Дойля можем рассматривать как участников игры, то есть игроков. В распоряжении каждого игрока i (i =1,2) две чистые стратегии:

• сойти в Дувре (стратегия s i1 (i =1,2) );
• сойти на промежуточной станции (стратегия s i2 (i =1,2) )

В зависимости от того, какую из двух стратегий выберет каждый из двух игроков, будет создана особая комбинация стратегий как пара s = (s 1 , s 2 ) .

Каждой комбинации можно поставить в соответствие событие - исход попытки убийства Шерлока Холмса профессором Мориарти. Составляем матрицу данной игры с возможными событиями.

Под каждым из событий указан индекс, означающий приобретение профессора Мориарти, и рассчитываемый в зависимости от спасения Холмса. Оба героя выбирают стратегию одновременно, не зная, что выберет противник. Таким образом, игра является некооперативной, поскольку, во-первых, игроки находятся в разных поездах, а во-вторых, имеют противоположные интересы.

Пример формализации и решения кооперативной (коалиционной) игры n лиц

В этом пункте практическая часть, то есть ход решения примера задачи, будет предварена теоретической частью, в которой будем знакомиться с понятиями теории игр для решения кооперативных (бескоалиционных) игр. Для этой задачи теория игр предлагает:

• характеристическую функцию (если говорить упрощённо, она отражает величину выгоды объединения игроков в коалицию);
• понятие аддитивности (свойства величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, в некотором классе разбиений объекта на части) и супераддитивности (значение величины, соответствующее целому объекту, больше суммы значений величин, соответствующих его частям) характеристической функции.

Супераддитивность характеристической функции говорит о том, что объединение в коалиции выгодна игрокам, так как в этом случае величина выигрыша коалиции увеличивается с увеличением числа игроков.

Для формализации игры нам нужно ввести формальные обозначения вышеназванных понятий.

Для игры n обозначим множество всех её игроков как N = {1,2,...,n} Любое непустое подмножество множества N обозначим как Т (включая само N и все подмножества, состоящие из одного элемента). На сайте есть занятие "Множества и операции над множествами ", которое при переходе по ссылке открывается в новом окне.

Характеристическая функция обозначается как v и область её определения состоит из возможных подмножеств множества N . v (T ) - значение характеристической функции для того или иного подмножества, например, доход, полученный коалицией, в том числе, возможно, состоящей из одного игрока. Это важно по той причине, что теория игр требует проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

Для двух непустых коалиций из подмножеств T 1 и T 2 аддитивность характеристической функции кооперативной (коалиционной) игры записывается так:

А супераддитивность так:

Пример 2. Трое студентов музыкальной школы подрабатывают в разных клубах, свою выручку они получают от посетителей клубов. Установить, выгодно ли им объединять свои силы (если да, то с какими условиями), используя понятия теории игр для решения кооперативных игр n лиц, при следующих исходных данных.

В среднем их выручка за один вечер составляла:

• у скрипача 600 единиц;
• у гитариста 700 единиц;
• у певицы 900 единиц.

Пытаясь увеличить выручку, студенты в течение нескольких месяцев создавали различные группы. Результаты показали, что, объединившись, они могут увеличить свою выручку за вечер следующим образом:

• скрипач + гитарист зарабатывали 1500 единиц;
• скрипач + певица зарабатывали 1800 единиц;
• гитарист + певица зарабатывали 1900 единиц;
• скрипач + гитарист + певица зарабатывали 3000 единиц.

Решение. В этом примере число участников игры n = 3 , следовательно, область определения характеристической функции игры состоит из 2³ = 8 возможных подмножеств множества всех игроков. Перечислим все возможные коалиции T :

• коалиции из одного элемента, каждая из которых состоит из одного игрока - музыканта: T {1} , T {2} , T {3} ;
• коалиции из двух элементов: T {1,2} , T {1,3} , T {2,3} ;
• коалиция из трёх элементов: T {1,2,3} .

Каждому из игроков присвоим порядковый номер:

• скрипач - 1-й игрок;
• гитарист - 2-й игрок;
• певица - 3-й игрок.

По данным задачи определим характеристическую функцию игры v :

v(T{1}) = 600 ; v(T{2}) = 700 ; v(T{3}) = 900 ; эти значения характеристической функции определены исходя из выигрышей соответственно первого, второго и третьего игроков, когда они не объединяются в коалиции;

v(T{1,2}) = 1500 ; v(T{1,3}) = 1800 ; v(T{2,3}) = 1900 ; эти значения характеристической функции определены по выручке каждой пары игроков, объединившихся в коалиции;

v(T{1,2,3}) = 3000 ; это значение характеристической функции определено по средней выручке в случае, когда игроки объединялись в тройки.

Таким образом, мы перечислили все возможные коалиции игроков, их получилось восемь, как и должно быть, так как область определения характеристической функции игры состоит именно из восьми возможных подмножеств множества всех игроков. Что и требует теория игр, так как нам нужно проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

Как выполняются условия супераддитивности в этом примере? Определим, как игроки образуют непересекающиеся коалиции T 1 и T 2 . Если часть игроков входят в коалицию T 1 , то все остальные игроки входят в коалицию T 2 и по определению эта коалиция образуется как разность всего множества игроков и множества T 1 . Тогда, если T 1 - коалиция из одного игрока, то в коалиции T 2 будут второй и третий игроки, если в коалиции T 1 будут первый и третий игроки, то коалиция T 2 будет состоять только из второго игрока, и так далее.

Теория игр - это наука, изучающая принципы принятия решений в ситуациях, в которых несколько агентов взаимодействуют между собой. Решения, принимаемые кем-то одним, влияют на решения остальных и на исход взаимодействия в целом. Взаимодействия такого типа называются стратегическими.

Слово «игра» не должно вводить в заблуждение. Это понятие в теории игр трактуется шире, чем в повседневной жизни. Ситуация стратегического взаимодействия может быть описана в виде модели, которую и называют игрой. Таким образом, в теории игр игрой будет считаться не только игра в шахматы, но и голосование в Совете Безопасности ООН, и торг продавца с покупателем на рынке.

Стратегические взаимодействия встречаются практически в любой сфере нашей жизни. Пример из экономики: несколько компаний, конкурирующих на рынке, при принятии решений должны оглядываться на действия конкурентов. Если мы будем говорить о политике, то кандидаты, соперничающие на выборах, объявляя свою предвыборную платформу, естественно, принимают во внимание позиции других кандидатов по отношению к этому вопросу. А если мы изучаем взаимодействие людей в обществе, то с помощью теории игр можно узнать много интересного о склонности людей к кооперации.

Представители социальных наук часто используют теорию игр в качестве инструмента, который позволяет решать интересующие их задачи. Упрощая, теоретико-игровое моделирование можно разбить на два этапа.

Сначала по реальной жизненной ситуации нужно построить формальную модель. Как правило, в модели нужно отразить три основные характеристики жизненной ситуации: кто взаимодействует друг с другом (такие агенты в теории игр называются игроками), какие решения могут принимать игроки и какие платежи они в результате этого взаимодействия получают. Формальная модель и называется игрой.

Как только мы построили игру, ее нужно каким-то образом решить. На этой стадии мы полностью абстрагируемся от реальности и изучаем исключительно формальную модель. Как устроено решение модели? Мы должны зафиксировать концепцию поведения игроков в игре, то есть принципы принимаемых ими решений. Как только мы зафиксировали эту концепцию, мы можем постараться с ее помощью решить игру, то есть предъявить исход, которым закончится игра.

С помощью разных теоретико-игровых концепций можно решать разные классы игр. Один из самых красивых теоретических результатов теории игр доказывает, что в некотором очень широком классе моделей можно гарантированно найти решение. Я имею в виду результат Джона Нэша, полученный им в 1950 году: в любой конечной игре в нормальной форме можно всегда найти по крайней мере одно равновесие в смешанных стратегиях. Хронологически это была первая универсальная теоретико-игровая концепция, которая позволяет гарантированно найти решение в очень широком классе моделей.

В отличие от представителей социальных наук, математиков-игровиков больше интересуют внутренние свойства игр и концепций их решения. Именно благодаря таким теоретическим результатам мы можем быть уверены в том, что, строя и решая ту или иную теоретико-игровую модель, мы в итоге получим решение с необходимыми свойствами.

Конечно, Джон Нэш не является единоличным автором теории игр. Теория игр как самостоятельная наука начала развиваться чуть раньше, в начале ХХ века. Первые попытки формально определить игры, стратегии игроков и концепции решения игр восходят к именам Эмиля Бореля и Джона фон Неймана. Однако именно Нэш предъявил концепцию равновесия, которая позволяет гарантированно найти решение в конечных играх. В честь автора теоремы о существовании равновесия в смешанных стратегиях в конечных играх это равновесие стали называть равновесием Нэша.

Врученная в 1994 году первая Нобелевская премия за результаты в области теории игр (Джону Нэшу, Райнхарду Зелтену и Джону Харсаньи) фактически утвердила статус теории игр как самостоятельного научного направления со своими задачами и методами их решений. Последовавшие за этим еще несколько Нобелевских премий вручались как за фундаментальные теоретико-игровые результаты, так и за приложения теории игр к той или иной стороне нашей жизни. В ведущих университетах мира на программах и по экономике, и по политическим наукам теория игр обязательно входит в стандартный набор курсов. Часто ее изучают и психологи, и математики.

Сегодня, если посмотреть на секции крупных конференций и на статьи в ведущих научных журналах по теории игр, количество работ, использующих аппарат теории игр для решения прикладных задач, гораздо больше, чем количество фундаментальных теоретико-игровых результатов. Текущее состояние дисциплины можно описать так: в теории игр сформировалось достаточно мощное ядро, пласт знаний, который позволяет получать хорошие и интересные результаты исследователям из смежных областей.

Тем не менее всегда открываются новые интересные направления исследований и в самой теории игр. Так, благодаря развитию вычислительных технологий появились новые теоретико-игровые концепции, учитывающие возможности и ограничения вычислительных машин. Благодаря им появилась возможность решать новые задачи. Результат 2015 года о равновесии в одной из версий покера, полученный Боулингом, Берчем, Йохансоном и Таммелином, - замечательный пример использования современных теорий и технологий.

экспериментальной экономики

И других методов анализа

Как и любая другая не полностью конвенциальная наука, институциональная экономика применяет разные методы анализа. К ним относятся традиционный микроэкономический инструментарий, эконометрические методы, анализ статистической информации и др. В данном разделе кратко рассмотрим применение теории игр, экспериментальной экономики и других методов, адаптированных к институциональному анализу.

Теория игр . Теория игр – аналитический метод, получивший развитие после второй мировой войны и используемый для анализа ситуаций, в которых индивидуумы стратегически взаимодействуют. Шахматы – это прототип стратегической игры, так как результат зависит от поведения противника, так же как и от поведения собственно игрока. Из-за аналогий, найденных между стратегическими играми и формами политического и экономического взаимодействия, теории игр уделяется повышенное внимание в общественных науках. Современная теория игр начинается с работы Д. Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944, русский вариант – 1970). Теория исследует взаимодействие индивидуальных решений при некоторых допущениях, касающихся принятия решения в условиях риска, общего состояния окружающей среды, кооперативного или некооперативного поведения других индивидов. Очевидно, что рациональному индивиду приходится принимать решения в условиях неопределенности и взаимодействия. Если выигрыш одного индивида является проигрышем другого, то это игра с нулевой суммой. Когда каждый из индивидов может выиграть от решения одного из них, то имеет место игра с ненулевой суммой. Игра может быть кооперативной, когда возможен сговор, и некооперативной, когда преобладает антагонизм. Одним из известных примеров игры с ненулевой суммой является дилемма заключенного (ДЗ). Этот пример показывает, что, вопреки утверждениям либерализма, преследование индивидом собственного интереса ведет к решению менее удовлетворительному, чем возможные альтернативы.

Предельная теорема Ф.И. Эджуорта рассматривается как ранний пример кооперативной игры n участников. Теорема утверждает, что по мере увеличения числа участников в экономике чистого обмена сговор становится менее полезным, а множество возможных равновесных относительных цен (ядро) уменьшается. Если число участников стремится к бесконечности, то остается только одна система относительных цен, соответствующая ценам общего равновесия.

Понятие оптимального (равновесного) по Нэшу решения является одним из ключевых в теории игр. Оно было введено в 1951 г. американским экономистом-математиком Джоном Ф. Нэшем.

В данном контексте достаточно рассмотреть это понятие применительно к теоретико-игровой модели двух лиц 25 . В этой модели каждый из участников располагает некоторым непустым множеством стратегий S i , i = 1, 2. При этом выбор конкретных стратегий из числа доступных игроку осуществляется таким образом, чтобы максимизировать значение собственной функции выигрыша (полезности) u i , i = 1, 2. Значения функции выигрыша заданы на множестве упорядоченных пар стратегий игроков S 1 ´ S 2 , элементами которого выступают всевозможные сочетания стратегий игроков (s 1 , s 2) (упорядоченность пар стратегий заключается в том, что в каждом из сочетаний на первом месте стоит стратегия первого игрока, на втором – второго), т.е. u i = u i (s 1 , s 2), i = 1, 2. Иными словами, выигрыш каждого игрока зависит не только от выбираемой им самим стратегии, но и от стратегии, принятой его противником.

Оптимальным по Нэшу решением признается пара стратегий (s 1 *, s 2 *), s i *Î S i , i = 1, 2, обладающая следующим свойством: стратегия s 1 * обеспечивает игроку 1 максимальный выигрыш, когда игрок 2 выбирает стратегию s 2 *, и симметрично s 2 * доставляет максимальное значение функции выигрыша игрока 2 , когда игроком 1 принимается стратегия s 1 *. Пара стратегий приводит к равновесию по Нэшу, если выбор, сделанный игроком 1 , оптимален при данном выборе игрока 2 , а выбор, сделанный игроком 2, оптимален при данном выборе игрока 1 . Понятие оптимальности по Нэшу очевидным образом обобщается на случай игры n лиц. Следует заметить, что существование равновесия по Нэшу не означает его Парето-оптимальности, а Парето-оптимальный набор стратегий не обязательно должен удовлетворять равновесию по Нэшу. В 1994 г. Дж. Ф. Нэшу, Р. Зельтену и Дж. Ч. Харшани была присуждена Премия памяти А. Нобеля по экономике за их вклад в разработку теории игр и ее приложение к экономике.

Обращение к этому методу опирается на его явную силу в освещении причин и последствий институционального изменения. Способность теории игр помочь анализировать последствия изменения правил бесспорна; ее сила в раскрытии причин неоднозначна. Любой теоретико-игровой анализ должен предполагать предшествующее определение основных правил игры. Так, О. Моргенштерн в 1968 г. писал: «Игры описаны путем определения возможного поведения в пределах правил игры. Правила являются в каждом случае однозначными; например, в шахматах определенные ходы разрешены для специфических фигур, но запрещены для других. Правила также ненарушаемы. Когда социальная ситуация рассматривается как игра, правила даны физической и юридической окружающей средой, в пределах которой имеют место действия индивидуумов» 26 .

Если эта точка зрения принимается, нельзя ожидать, что теория игр объяснит причину изменения в фундаментальных правилах организации экономической, политической и социальной жизни: определение таких правил, очевидно, является предварительным условием для проведения такого анализа.

Для понимания значения институтов используются модели координационной игры и дилеммы заключенных.

Рассмотримпроблему чистой и обобщенной координации . Чистая координационная игра показывает, что экономические агенты не могут гарантированно реализовать взаимные выгоды кооперации, даже если отсутствует конфликт интересов. Другими словами, в ситуации «чистой» координации имеется множественное равновесие, которое одинаково предпочитается каждой стороной. В этом случае нет конфликта интересов, но нет гарантии, что все будут стремиться к одному равновесному результату. Известный пример – выбор стороны дороги (правой или левой), по которой люди должны ездить (рис. 2.1). Данная игра имеет два равновесия по Нэшу, соответствующих наборам стратегий (левая, левая) и (правая, правая). Никто заранее не возражает ездить справа или слева, но достижение скоординированного результата при большом количестве участников переговоров потребует высоких трансакционных издержек. Необходим институт, который бы выполнил функцию фокальной точки, т.е. ввел согласованное решение. Таким институтом может быть результат общего знания, полученного на основе однотипного анализа ситуации, а может быть и государство, которое вмешивается, чтобы ввести правило координации и сократить трансакционные издержки. В целом институты выполняют координационную функцию, снижая неопределенность.

Обобщенная проблема координации существует, если матрица выигрышей такова, что в любой точке равновесия никто из игроков не имеет стимула изменить свое поведение при данном поведении других игроков, но и никто из игроков не желает, чтобы какой-либо другой игрок изменил его. В этом случае каждый предпочел бы скоординированный результат не скоординированному, но, возможно, каждый захочет предпочесть особый скоординированный результат (рис. 2.2). Например, два производителяА и Б используют различную технологию X и Y , но хотят ввести национальный стандарт изделия, который вызовет сетевые внешние эффекты. Производитель А больше выиграет, если стандартом станет технология Х , а производитель Б – технология Y . Выигрыш оказывается распределенным асимметрично. Итак, производитель А (Б ) предпочтет, чтобы стандартом стала X (Y )-технология, но оба предпочтут любой из скоординированных результатов не скоординированному. Трансакционные издержки в этой модели будут выше, чем в предыдущей (особенно при участии большого количества сторон), так как налицо столкновение интересов. Замена частных попыток координации государственным вмешательством позволила бы уменьшить трансакционные издержки в экономике. Примерами являются государственное введение технологических стандартов, стандартов измерения и качества и т.д. Обобщенная координационная модель иллюстрирует важность не только координационной функции институтов, но и распределительной, от которой зависит способ, ограничивающий возможные альтернативы игроков, и в конечном счете результативность взаимодействия.

Дилемма заключенного часто приводится как пример проблемы установления кооперации между индивидами. В игре участвуют два игрока, два заключенных, которые разделены своими надзирателями. У каждого есть два выбора: кооперироваться, т.е. хранить молчание, или отказаться от кооперации, т.е. предать другого. Каждый должен действовать, не зная, что предпримет другой. Каждому говорят, что признание, если другой молчит, ведет к свободе. Отказ от признания в случае предательства другого означает смерть. Если оба признаются, то проведут вместе несколько лет в тюрьме. Если каждый из них откажется от признания, то будет на короткое время арестован и затем освобожден. Предполагая, что тюрьма предпочтительнее смерти, а свобода – наиболее желаемое состояние, заключенные сталкиваются с парадоксом: хотя они оба предпочли бы не предавать друг друга и провести недолгое время в тюрьме, каждый окажется в лучшем положении, предав другого, не считаясь с тем, что предпримет другой. Аналитически способность заключенных установить связь находится на заднем плане, так как стимулы к предательству остаются одинаково сильными при наличии или без наличия связи. Предательство остается доминирующей стратегией.

Этот анализ помогает объяснить, почему эгоистично-макси­ми­зирующие агенты не могут рационально приходить к кооперативному результату или поддерживать его (парадокс индивидуальной рациональности). Он полезен в объяснении ex post распада картеля или другого кооперативного соглашения, но не объясняет, каким способом сформирован картель или кооперативное соглашение. Если заключенные способны достичь соглашения, то проблема исчезает: они договариваются не предавать друг друга и прийти к тому, чтобы максимизировать совместные выигрыши. Итак, достаточно вступить в соглашение, которое совместно желательно, но делает каждого в отдельности потенциально более уязвимым к ущербу, чем в отсутствие такого соглашения. Этот анализ обращает внимание на институты, которые с индивидуальной точки зрения могут превратить такие соглашения в менее рискованные.

В теоретической литературе дается различие между анализом кооперативных и некооперативных игр. Как уже описано, игроки способны заключать связывающие их соглашения. Гарант таких соглашений – неявный. Многие теоретики игр настаивают на том, что обман и разрыв соглашений – общие черты человеческих взаимоотношений, поэтому такое поведение должно оставаться внутри стратегического пространства. Они пытаются объяснить возникновение и сохранение кооперации в модели некооперативных игр, особенно в модели бесконечно повторяющейся последовательности игр ДЗ. Конечная последовательность игр не даст результата, потому что с момента, когда доминирующая стратегия в последней игре станет явно отступнической, и с момента, когда она станет ожидаемой, то же самое будет верно для предпоследней игры и так далее, до первой игры. В бесконечных сериях игр при определенных предположениях о дисконтировании выигрышей может появиться кооперация как равновесная стратегия. Таким образом, некооперативный анализ не избегает потребности принять основные правила игры как часть описания стратегического пространства. Он просто предполагает отличный и менее ограничительный набор правил. В отличие от кооперативного анализа соглашения могут быть разорваны по желанию. С другой стороны, выход из непрерывной игры ограничен. Ни один подход не избегает потребности определять правила игры, перед тем как начать анализ.

Одним из наиболее интересных недавних достижений в исследовании ДЗ была организация турниров между предопределенными стратегиями для проведения конечно повторяющихся игр ДЗ с двумя участниками. Первый из них был организован Робертом Аксельродом (описан в 1984 г.) и включал игру последовательностью в 200 партий. Опытными в ДЗ участниками были предложены компьютерные программы, и которые затем состязались друг с другом.

Р. Аксельрод сообщил игрокам, что стратегии будут оценены не по числу побед, а согласно сумме очков против всех других стратегий, причем три очка каждый получает за взаимную кооперацию, одно очко за взаимное отступничество и выигрыш 5 к 0 за отступничество/кооперацию. Как отмечено ранее, аналитически ясно, что отступничество – доминирующая стратегия последней игры и, следовательно, каждой предыдущей игры.

Рассмотрим матрицу выигрышей в ДЗ, анализируемую Р. Аксельродом 27 (рис. 2.3). Независимо от того, что делает другой игрок, предательство дает более высокое вознаграждение, чем кооперация. Если первый игрок думает, что другой игрок будет молчать, то ему выгоднее предать ($5>$3). С другой стороны, если первый игрок думает, что другой предаст, ему все равно выгоднее предать самому ($1 лучше, чем ничего). Следовательно, искушение склоняет к предательству. Но если оба предают, то оба получают меньше, чем в ситуации кооперации ($1+$1<$3+$3).

		Второй игрок
			Кооперируется
Первый игрок
	Кооперируется

Рис. 2.3 . Матрица выигрышей в дилемме заключенного

Дилемма заключенного – знаменитая проблема в экономике – показывает: то, что рационально или оптимально для одного агента, может не быть рациональным или оптимальным для группы индивидов, рассматриваемых совместно. Эгоистичное поведение индивида может быть вредным или разрушительным для группы. В повторяющихся играх ДЗ соответствующая стратегия неочевидна. Чтобы найти хорошую стратегию, и были организованы турниры. Если выигрыш был бы получен строго на основе победа–проигрыш, то каждый участник турнира должен был предложить непрерывное отступничество. Однако правила выигрыша дали понять, что организация некоторой кооперации могла бы привести к более высоким общим результатам. К удивлению многих, победила простая стратегия «зуб за зуб», предложенная А. Рапопортом: игрок кооперируется на первом шаге и затем делает тот ход, который другой игрок делал на предыдущем шаге.

Во втором турнире участвовало гораздо больше игроков, в том числе профессионалов, а также тех, кто знал о результатах первого раунда. Итогом была еще одна победа стратегии копирования («зуб за зуб»).

Анализ результатов турниров выявил четыре свойства, приводящие к успешной стратегии: 1) стремление избежать ненужного конфликта и кооперироваться так долго, как это делает другой; 2) способность к вызову перед лицом ничем не вызванного предательства другого; 3) прощение после ответа на вызов; 4) ясность поведения, чтобы другой игрок мог распознать и адаптироваться к образу действия первого.

Р. Аксельрод показал, что кооперация может начаться, развиваться и стабилизироваться в ситуациях, которые в противном случае являются экстраординарными, не обещая ничего хорошего. Можно согласиться с тем, что стратегия «зуб за зуб» в аналитическом смысле иррациональна в конечно повторяющейся игре, но эмпирически, очевидно, нет. Если бы стратегия «зуб за зуб» состязалась с другими аналитическими стратегиями, все из которых состояли из непрерывных отступничеств, она не смогла бы победить в турнире.

Теория игр может быть важным инструментом для изучения человеческого взаимодействия в ограниченных правилами обстоятельствах. Благодаря своим возможностям изучать последствия разных институциональных соглашений она также может быть полезна с точки зрения государственной политики при проектировании новых институциональных соглашений. Теория игр использовалась в анализе общественных благ, олигополии, картеля и сговоров на рынках товаров и труда. При всех своих достоинствах теория игр обладает и относительными слабостями. Некоторые авторы высказали сомнения относительно применения модели дилеммы заключенного в социальной науке. Например, М. Тейлор в 1987 г. предположил, что такие игры соответствуют обстоятельствам обеспечения общественными благами. В 1985 г. Н. Шофилд утверждал, что агенты должны формировать согласованные понятия об убеждениях и желаниях других агентов, включая проблемы познания и интерпретации, которые не просты для моделирования 28 . Многие экономисты отмечали, что использование теории игр без оговорок может свести экономическую деятельность к слишком статичной схеме. В частности, нобелевский лауреат Р. Стоун в 1948 г. писал: «Главная черта, благодаря которой теория игр впадает в противоречие с живой действительностью, заключается в том, что объект исследования ограничен во времени – игра имеет начало и конец. Об экономической действительности этого не скажешь. Именно в возможности обособить партию от игры и заключается глубокое расхождение теории с реальностью, а это расхождение ограничивает ее применение» 29 . Однако с тех пор неоценимо много сделано для сглаживания этого расхождения и расширения применения теории игр в экономике.

Экспериментальная экономика . Другим методическим подходом, использующимся для проверки постулатов экономической теории и смежных наук, а также объяснения институциональных проблем является экспериментальная экономика . Влияние проектируемых институтов на эффективность разме­щения ресурсов не всегда можно предсказать ex ante. Один из вариантов экономии на издержках ех post – имитация работы институтов в лабораторных условиях.

Вообще экономический эксперимент – это воспроизведение экономического явления или процесса с целью изучения в наиболее благоприятных условиях и дальнейшего практического изменения. Эксперименты, которые осуществляются в реальных условиях, называются естественными, или полевыми, а эксперименты, проводимые в искусственных условиях, – лабораторными. Последние зачастую требуют использования экономико-математических методов и моделей. Естественные эксперименты могут проводиться на микроуровне (эксперименты Р. Оуэна, Ф. Тейлора, по внедрению хозрасчета на предприятии и т.п.) и на макроуровне (варианты экономической политики, свободные экономические зоны и пр.). Лабораторные эксперименты – это искусственно воспроизведенные экономические ситуации, некие экономические модели, чья среда (условия протекания эксперимента) контролируется исследователем в лаборатории.

Американский экономист Эл. Рот, с конца 70-х гг. работающий в области экспериментальной экономики, отмечает ряд преимуществ лабораторных экспериментов перед «полевыми» 30 . В лабораторных условиях возможен полный контроль экспериментатора над средой и поведением субъектов, в то время как при «полевых» экспериментах можно контролировать лишь ограниченное число факторов среды и почти невозможно – поведение экономических субъектов. Именно благодаря этому лабораторные эксперименты позволяют более точно определять условия, при которых можно ожидать повторения отдельных явлений. Кроме того, естественные эксперименты дорогостоящи, и в случае неудачи затрагивают судьбы многих людей.

Область интересов экспериментальной экономики достаточно обширна: положения теории игр, теории отраслевых рынков, модель рационального выбора, феномен рыночного равновесия, проблемы общественных благ и др.

Для примера остановимся на результатах исследования сравнительной эффективности институтов рынка, которые опубликованы Ч.А. Холтом и представлены А.Е. Шаститко 31 . В исследовании сопоставляются выводы теоретической и экспериментальной моделей рынка, полученные с помощью контролируемых экспериментов. Результаты поведения агентов измеряются с помощью коэффициента исчерпания суммы потенциальных рент покупателя и продавца, что соответствует эффективности обмена. Коэффициент исчерпания – отношение фактически (экспериментально) полученной ренты к максимально возможной величине – изменяется от 0 до 1. Сравнение проводилось по следующим формам рынка: двусторонний аукцион, торговля на основе ценовых заявок одной из сторон, расчетная палата, децентрализованные переговоры о цене, торговля на основе заявок с последующими переговорами. Наиболее интересные результаты экспериментов получены разными группами исследователей по двум первым формам рынка (табл. 2.1).

Забавный пример применения теории игр есть в фэнтезийной книжке Энтони Пирса «Бравый голем»

Много текста

– Смысл того, что я сейчас вам всем продемонстрирую, – начал Гранди, – заключается в наборе необходимого количества баллов. Баллы могут быть самыми различными – все зависит от комбинации решений, которые принимаются участниками игры. К примеру, предположим, что каждый участник свидетельствует против своего товарища по игре. В этом случае каждому участнику можно присудить по одному очку!
– Одно очко! – сказала Морская Ведьма, проявляя к игре неожиданный интерес. Очевидно, колдунья хотела удостовериться в том, что у голема нет никаких шансов, чтобы демон Ксант остался им доволен.
– А теперь давайте предположим, что каждый из участников игры не свидетельствует против своего товарища! – продолжал Гранди. – В этом случае каждому можно присудить по три балла. Я хочу особенно отметить, что покуда все участники действуют одинаково, то им присуждается одинаковое количество баллов. Ни у кого нет никаких преимуществ перед другим.
– Три очка! – сказала вторая ведьма.
– Но вот теперь мы вправе предложить, что один из игроков начал давать показания против второго, а второй все равно молчит! – сказал Гранди. – В таком случае тот, кто эти показания дает, получает сразу пять очков, а тот, который молчит, не получает ни одного очка!
– Ага! – в один голос воскликнули обе ведьмы, хищно облизывая губы. Было видно, что обе они явно собирались получить по пять очков.
– Я все время терял очки! – воскликнул демон. – Но ведь ты пока только обрисовал ситуацию, а способа ее разрешения еще не представил! Так в чем заключается твоя стратегия? Не надо тянуть время!
– Погоди, сейчас я все объясню! – воскликнул Гранди. – Каждый из нас четверых – нас тут двое големов и две ведьмы – будет сражаться против своих противников. Конечно же, ведьмы постараются никому ни в чем не уступить…
– Конечно! – воскликнули снова обе ведьмы в унисон. Они отлично понимали голема с полуслова!
– А второй голем будет следовать моей тактике, – продолжал Гранди невозмутимо. Он посмотрел на своего двойника. – Ты, конечно, в курсе?
– Да, конечно! Я ведь твоя копия! Я прекрасно все понимаю, что ты думаешь!
– Вот и отлично! В таком случае, давайте-ка сделаем первый ход, чтобы демон смог сам все увидеть. В каждом поединке будет несколько раундов, чтобы вся стратегия смогла проявиться до конца и произвела впечатление целостной системы. Пожалуй, мне следует начать.

– Теперь каждый из нас должен наносить отметки на своих листках бумаги! – обратился голем к ведьме. – Сначала следует нарисовать улыбающееся лицо. Это будет означать, что мы не будем давать показания на товарища по заключению. Можно также нарисовать насупленное лицо, которое означает, что мы думаем только о себе и нужные показания на своего товарища даем. Мы оба сознаем, что лучше было бы, если бы никто не оказался тем самым насупленным лицом, но ведь, с другой стороны, насупленное лицо получает определенные преимущества перед улыбающимся! Но суть заключается в том, что каждый из нас не знает, что выберет другой! Не будем знать до тех пор, покуда партнер по игре не откроет своего рисунка!
– Начинай ты, сволочь! – выругалась ведьма. Она, как всегда, не могла обойтись без бранных эпитетов!
– Готово! – воскликнул Гранди, нарисовав большое улыбающееся лицо на своем листочке бумаги таким образом, чтобы ведьма не смогла увидеть, что он изобразил там. Ведьма сделала свой ход, тоже изобразив лицо. Надо думать, она непременно изобразила недобрую физиономию!
– Ну, а теперь нам остается только показать друг другу наши рисунки, – объявил Гранди. Обернувшись назад, он открыл рисунок публике и показал его во все стороны, чтобы рисунок смогли увидеть все. Что-то недовольно ворча, то же самое сделала и Морская Ведьма.
Как Гранди и рассчитывал, с рисунка колдуньи смотрело злое, недовольное лицо.
– Теперь вы, уважаемые зрители, – сказал Гранди торжественно, – видите, что ведьма предпочла давать на меня показания. Я не собираюсь этого делать. Таким образом, Морская Ведьма набирает пять очков. А я, соответственно, не получаю ни одного балла. И тут…
По рядам зрителей снова прокатился легкий шумок. Все явно сочувствовали голему и страстно желали, чтобы Морская Ведьма проиграла.
Но ведь игра только-только началась! Если только его стратегия была верной…
– Теперь мы можем перейти ко второму раунду! – объявил Гранди торжественно. – Мы снова должны повторить ходы. Каждый рисует лицо, которое ему ближе!
Так и сделали. Гранди изображал теперь хмурое, недовольное лицо.
Как только игроки показали свои рисунки, публика увидела, что теперь оба они изобразили злые лица.
– По два очка каждому! – сказал Гранди.
– Семь два в мою пользу! – заорала ведьма радостно. – Ты никуда отсюда не выберешься, мерзавец!
– Начинаем снова! – воскликнул Гранди. Они сделали по очередному рисунку и показали их публике. Снова те же самые злые лица.
– Каждый из нас повторил предыдущий ход, повел себя эгоистично, а потому, как мне кажется, лучше никому не присуждать очков! – заявил голем.
– Но я все равно веду в игре! – сказала ведьма, радостно потирая руки.
– Ладно, не шуми! – сказал Гранди. – Игра ведь не закончилась. Посмотрим, что будет! Итак, уважаемая публика, мы начинаем четвертый по счету раунд!
Игроки снова сделали рисунки, показав публике то, что они изобразили на своих листках. Оба листка снова явили зрителям те же злые физиономии.
– Восемь – три! – закричала ведьма, заливаясь злобным смехом. – Своей дурацкой стратегией ты выкопал себе могилу, голем!
– Пятый раунд! – закричал Гранди. Повторилось то же самое, что и в прежние раунды, – снова злые лица, только счет изменился – он стал девять – четыре в пользу колдуньи.
– Теперь последний, шестой раунд! – возвестил Гранди. Его предварительные расчеты показывали, что именно этот раунд должен стать судьбоносным. Теперь теория должна была подтвердиться либо быть опровергнута практикой.
Несколько быстрых и нервных движений карандаша по бумаге – и оба рисунка предстали перед глазами публики. Снова два лица, теперь даже с оскаленными зубами!
– Десять – пять в мою пользу! Моя игра! Я победила! – загоготала Морская Ведьма.

– Ты действительно выиграла, – согласился Гранди мрачно. Аудитория зловеще молчала.
Демон шевельнул было губами, чтобы что-то сказать.

– Но наше состязание еще не закончено! – крикнул звонко Гранди. – Это ведь была только первая часть игры.
– Да вам целую вечность подавай! – заворчал демон Ксант недовольно.
– Это верно! – сказал Гранди спокойно. – Но ведь один тур ничего не решает, только методичность указывает на лучший результат.
Теперь голем подошел к другой ведьме.
– Я хотел бы сыграть этот тур с другим противником! – объявил он. – Каждый из нас будет изображать лица, как это было в предыдущий раз, потом будет демонстрировать нарисованное публике!
Так они и сделали. Результат был таким же, как и в прошлый раз – Гранди нарисовал улыбающуюся рожицу, а ведьма – так вообще череп. Она сразу набрала преимущество в целых пять баллов, оставив Гранди позади.
Оставшиеся пять раундов окончились с теми результатами, которых и можно было ожидать. Снова счет стал десять – пять в пользу Морской Ведьмы.
– Голем, мне очень нравится твоя стратегия! – хохотала колдунья.
– Итак, вы просмотрели два тура игры, уважаемые зрители! – воскликнул Гранди. – Я, таким образом, набрал десять очков, а мои соперницы – двадцать!
Публика, которая тоже вела подсчет очков, скорбно закивала головами. Их подсчет совпал с подсчетами голема. Только облако по имени Фракто казалось весьма довольным, хотя, конечно, ведьме оно тоже не симпатизировало.
Но Рапунцелия одобряюще улыбнулась голему – она продолжала верить в него. Она, возможно, осталась единственной, кто верил ему теперь. Гранди надеялся, что он оправдает это безграничное доверие.
Теперь Гранди подошел к своему третьему сопернику – своему двойнику. Он должен был стать его последним противником. Быстро чиркнув карандашами по бумаге, големы показали листочки публике. Все увидели две смеющихся рожицы.
– Заметьте, дорогие зрители, каждый из нас предпочел быть добрым сокамерником! – воскликнул Гранди. – А посему никто из нас не получил в этой игре необходимого преимущества перед соперником. Таким образом, мы оба получаем по три балла и приступаем к следующему раунду!
Второй раунд начался. Результат был тот же, что и в предыдущий раз. Затем оставшиеся раунды. И в каждый раунд оба противника набирали опять по три балла! Это было просто невероятно, но публика была готова подтвердить все происходящее.

Наконец и этот тур подошел к концу, и Гранди, быстро водя своим карандашиком по бумаге, стал подсчитывать результат. Наконец он объявил торжественно:
– Восемнадцать на восемнадцать! В общей сложности я набрал двадцать восемь очков, а мои соперники набрали тридцать восемь!
– Значит, ты проиграл, – возвестила Морская Ведьма радостно. – Победителем станет, таким образом, кто-то из нас!
– Возможно! – спокойно отозвался Гранди. Теперь наступал еще один важный момент. Если все пройдет так, как им и было задумано…
– Нужно довести дело до конца! – воскликнул второй голем. – Мне ведь тоже еще нужно сразиться с двумя Морскими Ведьмами! Игра еще не закончена!
– Да, конечно, давай! – сказал Гранди. – Но только руководствуйся стратегией!
– Да, конечно! – заверил его двойник.
Этот голем подошел к одной из ведьм, и тур начался. Завершился он с тем же результатом, с которым из подобного раунда вышел сам Гранди – счет был десять-пять в пользу колдуньи. Ведьма прямо-таки сияла от невыразимой радости, а публика угрюмо замолчала. Демон Ксант выглядел несколько уставшим, что было не слишком добрым предзнаменованием.
Теперь пришло время заключительного раунда – одна ведьма должна была сражаться против второй. Каждая имела в активе по двадцать очков, которые она смогла получить, сражаясь с големами.
– А теперь, если ты позволишь набрать мне хотя бы несколько лишних очков… – заговорщицки прошептала Морская Ведьма своему двойнику.
Гранди старался сохранить спокойствие хотя бы внешне, хотя в душе его бушевал ураган противоречивых чувств. Его удача сейчас зависела от того, насколько верно он предугадал возможное поведение обеих ведьм – ведь характер их был, в сущности, одним и тем же!
Сейчас наступал самый, пожалуй, критический момент. Но если он ошибся!
– С какой это стати я должна тебе уступать! – прокаркала вторая ведьма первой. – Я сама хочу набрать больше очков и выбраться отсюда!
– Ну, если ты так нахально ведешь себя, – завопила претендентка, – то я тебя сейчас отделаю так, что ты больше не будешь похожа на меня!
Ведьмы, одарив друг друга ненавидящими взглядами, начертили свои рисунки и показали их публике. Конечно же, ничего другого, кроме двух черепов, там оказаться просто не могло! Каждая набрала по одному очку.
Ведьмы, осыпая друг друга проклятьями, приступили ко второму раунду. Результат опять тот же самый – снова два коряво нарисованных черепа. Ведьмы, таким образом, набрали еще по одному очку. Публика старательно все фиксировала.
Так продолжалось и в дальнейшем. Когда тур закончился, усталые ведьмы обнаружили, что каждая из них набрала по шесть очков. Снова ничья!
– Теперь давайте подсчитаем получившиеся результаты и все сравним! – торжествующе сказал Гранди. – Каждая из ведьм набрала по двадцать шесть очков, а големы набрали по двадцать восемь баллов. Итак, что мы имеем? А имеем мы тот результат, что големы имеют большее количество очков!
По рядам зрителей прокатился вздох удивления. Взволнованные зрители стали писать на своих листочках столбики цифр, проверяя правильность подсчета. Многие за это время просто не считали количество набранных баллов, считая, что результат игры им уже известен. Обе ведьмы стали рычать от негодования, непонятно, кого именно обвиняя в происшедшем. Глаза демона Ксанта вновь загорелись настороженным огнем. Его доверие оправдалось!
– Я прошу вас, уважаемая публика, обратить внимание на тот факт, – поднял руку Гранди, требуя от зрителей успокоиться, – что ни один из големов не выиграл ни единого раунда. Но окончательная победа все-таки будет за одним из нас, из големов. Результаты будут более красноречивыми, если состязание продолжится и дальше! Я хочу сказать, дорогие мои зрители, что в вечном поединке моя стратегия будет неизменно оказываться выигрышной!
Демон Ксант с интересом прислушивался к тому, что говорил Гранди. Наконец он, испуская клубы пара, открыл рот:
– А в чем конкретно заключается твоя стратегия?
– Я называю ее «Быть твердым, но честным»! – пояснил Гранди. – Я начинаю игру честно, но затем начинаю проигрывать, потому что мне попадаются очень специфические партнеры. Поэтому в первом раунде, когда оказывается, что Морская Ведьма начинает давать против меня показания, я автоматически остаюсь проигравшим и во втором раунде – и так продолжается до конца. Результат может быть другим, ежели ведьма переменит свою тактику ведения игры. Но поскольку ей такое даже в голову прийти не может, мы продолжали играть по предыдущему шаблону. Когда я начал играть со своим двойником, то он хорошо отнесся ко мне, а я хорошо относился к нему в следующем раунде игры. Поэтому игра у нас пошла тоже по-другому и несколько однообразно, поскольку мы не хотели изменять тактику…
– Но ведь вы не выиграли ни единого тура! – удивленно возразил демон.
– Да, а эти ведьмы не проиграли ни одного тура! – подтвердил Гранди. – Но ведь победа не автоматически достается тому, за кем остались туры. Победа достается тому, кто набрал большее количество баллов, а это совсем другое дело! Мне удалось набрать больше очков, когда мы играли вместе с моим двойником, чем когда я играл с ведьмами. Их эгоистическое отношение принесло им сиюминутную победу, но в плане более долгосрочном оказалось, что именно из-за этого обе они проиграли игру целиком. Часто случается и такое!

В 1930-е годы Джон и Оскар Моргенштерн стали основателями нового интересного направления математики, которое получило название "теория игр". В 1950-е годы этим направлением заинтересовался молодой математик Джон Нэш. Теория равновесия стала темой его диссертации, которую он написал, будучи в возрасте 21 год. Так родилась новая под названием «Равновесие по Нэшу», заслужившая Нобелевскую премию спустя много лет - в 1994 году.

Долгий разрыв между написанием диссертации и всеобщим признанием стал испытанием для математика. Гениальность без признания вылилась в серьезные ментальные нарушения, но и эту задачу Джон Нэш смог решить благодаря прекрасному логическуму разуму. Его теория "равновесие по Нэшу" удостоилась премии Нобеля, а его жизнь экранизации в фильме «Beautiful mind» («Игры разума»).

Кратко о теории игр

Поскольку теория равновесия Нэша объясняет поведение людей в условиях взаимодействия, поэтому стоит рассмотреть основные понятия теории игр.

Теория игр изучает поведение участников (агентов) в условиях взаимодействия друг с другом по типу игры, когда исход зависит от решения и поведения нескольких людей. Участник принимает решения, руководствуясь своими прогнозами относительно поведения остальных, что и называется игровой стратегией.

Существует также доминирующая стратегия, при которой участник получает оптимальный результат при любом поведении других участников. Это наилучшая безпроигрышная стратегия игрока.

Дилемма заключенного и научный прорыв

Дилемма заключенного - это случай с игрой, когда участники вынуждены принимать рациональные решения, достигая общей цели в условии конфликта альтернатив. Вопрос заключается в том, какой из этих вариантов он выберет, осознавая личный и общий интерес, а также невозможность получить и то, и другое. Игроки словно заключены в жесткие игровые условия, что порой заставляет их мыслить очень продуктивно.

Эту дилемму исследовал американский математик Равновесие, которое он вывел, стало революционным в своем роде. Особенно ярко эта новая мысль повлияла на мнение экономистов о том, как делают выбор игроки рынка, учитывая интересы других, при плотном взаимодействии и пересечении интересов.

Лучше всего изучать теорию игр на конкретных примерах, поскольку сама эта математическая дисциплина не является сухо-теоретической.

Пример дилеммы заключенного

Пример, два человека совершили грабеж, попали в руки полиции и проходят допрос в отдельных камерах. При этом служители полиции предлагают каждому участнику выгодные условия, при которых он выйдет на свободу в случае дачи показаний против своего напарника. У каждого из преступников существует следующий набор стратегий, которые он будет рассматривать:

1. Оба одновременно дают показания и получают по 2,5 года в тюрьме.
2. Оба одновременно молчат и получают по 1 году, поскольку в таком случае доказательная база их вины будет мала.
3. Один дает показания и получает свободу, а другой молчит и получает 5 лет тюрьмы.

Очевидно, что исход дела зависит от решения обоих участников, но сговориться они не могут, поскольку сидят в разных камерах. Также ярко виден конфликт их личных интересов в борьбе за общий интерес. У каждого из заключенных есть два варианта действий и 4 варианта исходов.

Цепь логических умозаключений

Итак, преступник А рассматривает следующие варианты:

1. Я молчу и молчит мой напарник — мы оба получим по 1 году тюрьмы.
2. Я сдаю напарника и он сдает меня — мы оба получим по 2,5 года тюрьмы.
3. Я молчу, а напарник меня сдает — я получу 5 лет тюрьмы, а он свободу.
4. Я сдаю напарника, а он молчит - я получаю свободу, а он 5 лет тюрьмы.

Приведем матрицу возможных решений и исходов для наглядности.

Таблица вероятных исходов дилеммы заключенного.

Вопрос состоит в том, что выберет каждый участник?

«Молчать, нельзя говорить» или «молчать нельзя, говорить»

Чтобы понять выбор участника, нужно пройти по цепочке его размышлений. Следуя рассуждениям преступника А: если я промолчу и промолчит мой напарник, мы получим минимум срока (1 год), но я не могу узнать, как он себя поведет. Если он даст показания против меня, то мне также лучше дать показания, иначе я могу сесть на 5 лет. Лучше мне сесть на 2,5 года, чем на 5 лет. Если он промолчит, то мне тем более нужно дать показания, поскольку так я получу свободу. Точно так же рассуждает и участник B.

Нетрудно понять, что доминирующая стратегия для каждого из преступников - это дача показаний. Оптимальная точка этой игры наступает тогда, когда оба преступника дают показания и получают свой «приз» — 2,5 года тюрьмы. Теория игр Нэша называет это равновесием.

Неоптимальное оптимальное решение по Нэшу

Революционность нэшевского взгляда в том, не является оптимальным, если рассмотреть отдельного участника и его личный интерес. Ведь наилучший вариант - это промолчать и выйти на свободу.

Равновесие по Нэшу - это точка соприкосновения интересов, где каждый участник выбирает такой вариант, который для него оптимальный только при условии, что другие участники выбирают определенную стратегию.

Рассматривая вариант, когда оба преступника молчат и получают всего по 1 году, можно назвать него Парето-оптимальным вариантом. Однако он возможен, только если преступники смогли бы сговориться заранее. Но даже это не гарантировало бы этого исхода, поскольку соблазн отступить от уговора и избежать наказания велик. Отсутствие полного доверия друг к другу и опасность получить 5 лет вынуждает выбрать вариант с признанием. Размышлять о том, что участники будут придерживаться варианта с молчанием, действуя согласованно, просто нерационально. Такой вывод можно сделать, если изучать равновесие Нэша. Примеры только доказывают правоту.

Эгоистично или рационально

Теория равновесия Нэша дала потрясающие выводы, опровергнувшие существующие до этого принципы. Например, Адам Смит рассматривал поведение каждого из участников как абсолютно эгоистичное, что и приводило систему в равновесие. Эта теория носила название «невидимая рука рынка».

Джон Нэш увидел, что если все участники будут действовать, преследуя только свои интересы, то это никогда не приведет к оптимальному групповому результату. Учитывая, что рациональное мышление присуще каждому участнику, более вероятен выбор, который предлагает стратегия равновесия Нэша.

Чисто мужской эксперимент

Ярким примером может служить игра «парадокс блондинки», которая хотя и кажется неуместной, но является яркой иллюстрацией, показывающей, как работает теория игр Нэша.

В этой игре нужно представить, что компания свободных парней пришла в бар. Рядом оказывается компания девушек, одна из которых предпочтительнее других, скажем блондинка. Как парням повести себя, чтобы получить наилучшую подругу для себя?

Итак, рассуждения парней: если все начнут знакомиться с блондинкой, то, скорее всего, она никому не достанется, тогда и ее подруги не захотят знакомства. Никто не хочет быть вторым запасным вариантом. Но если парни выберут избегать блондинку, то вероятность каждому из парней найти среди девушек хорошую подругу высока.

Ситуация равновесия по Нэшу неоптимальна для парней, поскольку, преследуя лишь свои эгоистические интересы, каждый выбрал бы именно блондинку. Видно, что преследование только эгоистичных интересов будет равнозначно краху групповых интересов. Равновесие по Нэшу будет значить то, что каждый парень действует в своих личных интересах, которые соприкасаются с интересами всей группы. Это неоптимальный вариант для каждого лично, но оптимальный для каждого, исходя из общей стратегии успеха.

Вся наша жизнь игра

Принятие решений в реальных условиях очень напоминает игру, когда вы ожидаете определенного рационального поведения и от других участников. В бизнесе, в работе, в коллективе, в компании и даже в отношениях с противоположным полом. От больших сделок и до обычных жизненных ситуаций все подчиняется тому или иному закону.

Конечно, рассмотренные игровые ситуации с преступниками и баром - это всего лишь отличные иллюстрации, демонстрирующие равновесие Нэша. Примеры таких дилемм очень часто возникают на реальном рынке, а особенно это работает в случаях с двумя монополистами, контролирующими рынок.

Смешанные стратегии

Часто мы вовлекаемы не в одну, а сразу в несколько игр. Выбирая один из вариантов одной игре, руководствуясь рациональной стратегией, но попадаете в другую игру. После нескольких рациональных решений вы можете обнаружить, что ваш результат вас не устраивает. Что же предпринимать?

Рассмотрим два вида стратегии:

• Чистая стратегия - это поведение участника, которое исходит из размышления над возможным поведением других участников.
• Смешанная стратегия или случайная стратегия - это чередование чистых стратегий случайным образом или выбор чистой стратегии с определенной вероятностью. Такую стратегию еще называют рэндомизированной.

Рассматривая такое поведение, мы получаем новый взгляд на равновесие по Нешу. Если ранее говорилось о том, что игрок выбирает стратегию один раз, то можно представить и другое поведение. Можно допустить тот вариант, что игроки выбирают стратегию случайно с определенной вероятностью. Игры, в которых нельзя найти равновесия Нэша в чистых стратегиях, всегда имеют их в смешанных.

Равновесие Нэша в смешанных стратегиях называется смешанным равновесием. Это такое равновесие, где каждый участник выбирает оптимальную частоту выбора своих стратегий при условии, что другие участники выбирают свои стратегии с заданной частотой.

Пенальти и смешанная стратегия

Пример смешанной стратегии можно привести в игре в футбол. Лучшая иллюстрация смешанной стратегии - это, пожалуй, серия пенальти. Так, у нас есть вратарь, который может прыгнуть только в один угол, и игрок, который будет бить пенальти.

Итак, если в первый раз игрок выберет стратегию сделать удар в левый угол, а вратарь также упадет в этот угол и словит мяч, то как могут развиваться события во второй раз? Если игрок будет бить в противоположный угол, это, скорее всего, слишком очевидно, но и удар в тот же угол не менее очевиден. Поэтому и вратарю, и бьющему ничего не остается, как положиться на случайный выбор.

Так, чередуя случайный выбор с определенной чистой стратегией, игрок и вратарь пытаються получить максимальный результат.