Кое-кто из читателей, знакомых с характером прежнего преподавания логики в школе, возможно, поставит под сомнение целесообразность занимательной логики. Однако читатель, наверное, согласится с тем, что мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Особенно в наше время, постоянно приносящее множество необыкновенных и удивительных открытий и изобретений в разнообразных областях: в географии, политике, в общественной жизни.

Автоматический сортировщик топлива.
На склад, имеющий два помещения для хранения больших количеств двух видов топлива - угля и кокса, каждого отдельно, поступают грузовики, каждый всякий раз с одним из этих видов топлива. К механизму, открывающему шахты, предъявляется требование, чтобы он открыл шахту в помещение для угля, если прибывает грузовик с этим топливом, и шахту в помещение для кокса, если прибывает грузовик с коксом. Для обеспечения хорошей сортировки топлива было предъявлено дополнительное требование: всякий раз в помещение склада впускается только один грузовик и открывается лишь одна шахта.

Спрашивается, имеет ли этот механизм также следующее свойство: если не въехал в помещение склада грузовик с углем, то шахта для угля не откроется, а если не въехал грузовик с коксом, то не откроется шахта для кокса.

Примечание. Эту задачу можно решить и без средств логики высказываний, простым рассуждением. Более трудным, а возможно, и умозрительно неосуществимым окажется решение в случае, когда количество видов топлива превышает два и когда на склад может одновременно въезжать несколько грузовиков. Пусть читатель попытается решить эту задачу также для трех видов топлива.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Занимательная логика, Кольман Э., Зих О., 1966 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Математика и Конструирование, 1 класс, Учебное пособие для общеобразовательных организаций, Волкова С.И., 2016
• Математика, Устные упражнения, 1 класс, Учебное пособие для общеобразовательных организаций, Волкова С.И., 2016
• Курс лекций по теории и технологии обучения математике в начальных классах, Часть 2, Ручкина В.П., 2019

Следующие учебники и книги:

• Математика, Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И., 2014

Введение

Логика – это Бог мыслящих.

Л. Фейхтвангер

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, планировании экономики и военном деле. И это умение восходит к древнейшем временам, логика, т.е. наука о том, какие формы рассуждений правильны, возникла лишь немногим более двух тысяч лет тому назад. Она была развита в VI в. до н.э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля, его учеников и последователей.

В какой-то момент математики задали вопрос: «В чем, собственно, состоит математика, математическая деятельность?» Простой ответ заключается в том, что математики доказывают теоремы, то есть выясняют некоторые истины о реальном мире и «идеальном математическом мире». Попытка ответить на вопрос что такое математическая теорема, математическая истина и что такое математическое утверждение истинно или доказуемо, это и сеть исходная точка математической логики. Мы должны в школе научиться анализировать, сравнивать, выделять главное, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятии, ставить и решать проблемы. Овладение этими методами и означает умение мыслить. В науке приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, числовые закономерности, правила, доказывать теоремы. Например, в 1781 г. была открыта планета Уран. Наблюдения показали, что движение этой планеты отличается от теоретически вычисленного движения. Французский ученый Леверье (1811-1877гг.), логически рассуждая и выполнив довольно сложные вычисления, определил влияние на Уран другой планеты и указал место ее нахождения. В 1846 г. астроном Галле подтвердил существование планеты, которая была названа Нептун. При этом они использовали логику математических рассуждений и вычислений.

Второй исходной точкой наших рассмотрений является выяснение того, что значит, что математическая функция вычислима и ее можно вычислить с помощью некоторого алгоритма, формального правила, точно описанной процедуры. У этих двух исходных постановок есть много общего, они естественно объединяются под общим названием «математическая логика», где под математической логикой понимается прежде всего логика математических рассуждений и математических действий.

Я выбрала именно эту тему, потому что владение элементами математической логики поможет мне в моей будущей экономической профессии. Ведь маркетолог анализирует тенденции рынка, цены, объём оборота и методы маркетинга, собирает данные о конкурирующих организациях, выдаёт рекомендации. Для этого нужно использовать знание логики.

Цель работы: изучить и использовать возможности математической логики в решении проблем в различных областях и деятельности человека.

Задачи:

1. Проанализировать литературу о сущности и возникновении математической логики.

2. Изучить элементы математической логики.

3. Подобрать и решить задачи с элементами математической логики.

Методы: анализ литературы, понятий, метод аналогий в решении задач, самонаблюдение.

1. Из истории возникновения математической логики

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н. э.), который в своих трактатах обстоятельно исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия и исключения третьего. Вклад Аристотеля в логику весьма велик, недаром другое ее название - аристотелева логика. Еще сам Аристотель заметил, что между созданной им наукой и математикой (тогда она именовалась арифметикой) много общего. Он пытался соединить две эти науки, а именно свести размышление, или, вернее, умозаключение, к вычислению на основании исходных положений. В одном из своих трактатов Аристотель вплотную приблизился к одному из разделов математической логики - теории доказательств.

В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные положения логики и иногда даже намечали контуры современного исчисления высказываний, но ближе всех к созданию математической логики подошел уже во второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), указавший пути для перевода логики «из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно». Лейбниц надеялся даже, что в будущем философы, вместо того чтобы бесплодно спорить, станут брать бумагу и вычислять, кто из них прав. При этом в своих работах Лейбниц затрагивал и двоичную систему счисления. Следует отметить, что идея использования двух символов для кодирования информации очень стара. Австралийские аборигены считали двойками, некоторые племена охотников-сборщиков Новой Гвинеи и Южной Америки тоже пользовались двоичной системой счета. В некоторых африканских племенах передают сообщения с помощью барабанов в виде комбинаций звонких и глухих ударов. Знакомый всем пример двухсимвольного кодирования - азбука Морзе, где буквы алфавита представлены определенными сочетаниями точек и тире. После Лейбница исследования в этой области вели многие выдающиеся ученые, однако настоящий успех пришел здесь к английскому математику-самоучке Джорджу Булю (1815-1864), его целеустремленность не знала границ.

Материальное положение родителей Джорджа (отец которого был сапожным мастером) позволило ему окончить лишь начальную школу для бедняков. Спустя какое-то время Буль, сменив несколько профессий, открыл маленькую школу, где сам преподавал. Он много времени уделял самообразованию и вскоре увлекся идеями символической логики. В 1847 году Буль опубликовал статью «Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений», а в 1854 году появился главный его труд «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей». Буль изобрел своеобразную алгебру - систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому, как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключательных схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным. А еще несколько десятилетий спустя, уже в XX столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера. Отдельные положения работ Буля в той или иной мере затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками. Однако сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем более важнейших ее разделов - алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры высказываний.

Большой вклад в развитие логики внесли и русские ученые П.С. Порецкий (1846-1907), И.И. Жегалкин (1869-1947).

В XX веке огромную роль в развитии математической логики сыграл

Д. Гильберт (1862-1943), предложивший программу формализации математики, связанную с разработкой оснований самой математики. Наконец, в последние десятилетия XX века бурное развитие математической логики было обусловлено развитием теории алгоритмов и алгоритмических языков, теории автоматов, теории графов (С.К. Клини, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новиков и многие другие).

В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению логических элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники, что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логического моделирования логических устройств и средств вычислительной техники. В 80-х годах XX века начались исследования в области искусственного интеллекта на базе языков и систем логического программирования. Началось и создание экспертных систем с использованием и развитием автоматического доказательства теорем, а также методов доказательного программирования для верификации алгоритмов и программ для ЭВМ. В 80-ые годы начались также изменения в образовании. Появление персональных компьютеров в средних школах привело к созданию учебников информатики с изучением элементов математической логики для объяснения логических принципов работы логических схем и устройств вычислительной техники, а также принципов логического программирования для компьютеров пятого поколения и разработка учебников информатики с изучением языка исчисления предикатов для проектирования баз знаний.

1. Основы теории множеств

Понятие множества - является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества - «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств - маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках { }.

Принято использовать следующие обозначения:

a ∈ X - «элемент a принадлежит множеству X»;

a ∉ X - «элемент a не принадлежит множеству X»;

∀ - квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;

∃ - квантор существования: ∃ y ∈ B - «существует (найдется) элемент y из множества B»;

∃! - квантор существования и единственности: ∃ !b ∈ C - «существует единственный элемент b из множества C»;

: - «такой, что; обладающий свойством»;

→ - символ следствия, означает «влечет за собой»;

⇔ - квантор эквивалентности, равносильности - «тогда и только тогда».

Множества бывают конечные и бесконечные . Множества называются конечным , если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А={a 1 , a 2 ,a 3 , ..., a n }. Множество называется бесконечным , если оно содержит бесконечное число элементов. B={b 1 ,b 2 ,b 3 , ...}. Например, множество букв русского алфавита - конечное множество. Множество натуральных чисел - бесконечное множество.

Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента - ∅ . Два множества называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

Х=Х; - рефлексивность

если Х=Y, Y=X - симметричность

если X=Y,Y=Z, то X=Z - транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.

Подмножества. Отношение включения.

Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X ⊆ Y.

Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂ : X ⊂ Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y и X≠Y

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:

X ⊆ Х (рефлексивность);

→ X ⊆ Z (транзитивность);

Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется полным множеством и обозначается I.

Любое подмножество А i множества А называется собственным множеством А.

Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅ , называется булеаном Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2 n .

Счетное множество - это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n , ... так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Пример. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, ..., n 2 представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

Существует 2 основных способа задания множеств.

перечислением (X={a,b}, Y={1}, Z={1,2,...,8}, M={m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

описанием - указывается характерное свойства, которым обладают все элементы множества.

Множество полностью определено своими элементами.

Перечислением можно задать только конечные множества (например, множество месяцев в году). Бесконечные множества можно задать только описанием свойств его элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием Q={n/m, m, n ∈ Z, m≠0}.

Способы задания множества описанием:

а) заданием порождающей процедуры с указанием множества (множеств), которое пробегает параметр (параметры) этой процедуры - рекурсивный, индуктивный.

X={x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...} - мн-во чисел Фибониччи.

{мн-во элементов х, таких, что х 1 =1,х 2 =1 и произвольное х k+1 (при к=1,2,3,...) вычисляется по формуле х k+2 =х k +х k+1 } или Х=}