Основные картографические проекции. Картографическая проекция

Карта — плоское, искаженное изображение земной поверхности, на котором искажения подчинены определенному математическому закону.
Положение любой точки на плоскости может быть определено пересечением двух координатных линий, которые однозначно соответствовали бы координатным линиям на Земле (?, ?). Отсюда следует, что для получения плоского изображения земной поверхности нужно сначала нанести на плоскость систему координатных линий, которая соответствовала бы таким же линиям на сфере. Имея нанесенную на плоскость систему меридианов и параллелей, можно теперь нанести на эту сетку любые точки Земли.
Картографическая сетка — условное изображение географической сетки земных меридианов и параллелей на карте в виде прямых или кривых линий.
Картографическая проекция — способ построения картографической сетки на плоскости и изображение на ней сферической поверхности Земли, подчиненный определенному математическому закону.
Картографические проекции по характеру искажений делятся на:
1. Равноугольные (конформные) = проекции, не искажающие углов. Сохраняется подобие фигур. Масштаб изменяется с изменением? и?. Отношение площадей не сохраняется (о. Гренландия? Африке, SАфр. ? 13,8 Sо.Гренландия).
2. Равновеликие (эквивалентные) — проекции, на которых масштаб площадей везде одинаков и площади на картах пропорциональны соответствующим площадям в натуре. Равенства углов и подобия фигур не сохраняются. Масштаб длин в каждой точке не сохраняется по разным направлениям.
3. Произвольные — проекции, заданные несколькими условиями, но не обладающие ни свойствами равноугольности, ни свойствами равновеликости. Ортодромическая проекция — дуга большого круга изображается прямой линией.

Картографические проекции по способу построения картографической сетки делятся на:
1. Цилиндрические — проекции, на которых картографическая сетка меридианов и параллелей получается путем проецирования земных координатных линий на поверхность цилиндра, касающегося условного глобуса (или секущего его), с последующей разверткой этого цилиндра на плоскость.
Прямая цилиндрическая проекция — ось цилиндра совпадает с осью Земли;
Поперечная цилиндрическая проекция — ось цилиндра перпендикулярна оси Земли;
Косая цилиндрическая проекция — ось цилиндра расположена к оси Земли под углом отличным от 0° и 90°.
2. Конические — проекции, на которых картографическая сетка меридианов и параллелей получается путем проецирования земных координатных линий на поверхность конуса, касающегося условного глобуса (или секущего его), с последующей разверткой этого конуса на плоскость. В зависимости от положения конуса относительно оси Земли различают:
Прямую коническую проекцию — ось конуса совпадает с осью Земли;
Поперечную коническую проекцию — ось конуса перпендикулярна оси Земли;
Косую коническую проекцию — ось конуса расположена к оси Земли под углом отличным от 0° и 90°.
3. Азимутальные — проекции, в которых меридианы — радиальные прямые, исходящие из одной точки (центральной), под углами равными соответствующим углам в натуре, а параллели?-концентрические окружности, проведенные из точки схождения меридианов (ортографические, внешние, стереографические, центральные, полярные, экваториальные, горизонтные).
Меркаторская проекция
Предложенная Меркатором проекция относится к разряду нормальных цилиндрических равноугольных проекций.
Карты, построенные в этой проекции, называются меркаторскими, а проекция — проекция Меркатора или меркаторская проекция.
В меркаторской проекции все меридианы и параллели прямые и взаимноперпендикулярные линии, а линейная величина каждого градуса широты постепенно увеличивается с возрастанием широты, соответственно растягиванию параллелей, которые все в этой проекции по длине равны экватору.
Проекция Меркатора по характеру искажений относится к классу равноугольных.
Для получения морской навигационной карты в проекции Меркатора условный глобус помещают внутрь касательного цилиндра таким образом, чтобы их оси совпали.
Затем проецируют из центра глобуса меридианы на внутренние стенки цилиндра. При этом все меридианы изобразятся прямыми, параллельными между собой и перпендикулярными экватору линиями. Расстояния между ними равны расстояниям между теми же меридианами по экватору глобуса. Все параллели растянутся до величины экватора. При этом параллели, ближайшие к экватору, растянутся на меньшую величину и по мере удаления от экватора и приближения к полюсу величина их растяжения увеличивается.
Закон растяжения параллелей (рис. 1).

а) б) в)
Рис. 1. Закон растяжения параллелей
R и r – радиус Земли и произвольной параллели (СС?).
? – широта произвольной параллели (СС?).
Из прямоугольного треугольника ОС?К получим:
R = r sec?
Обе части равенства умножим на 2?, получим:
2? R = 2? r sec?
где 2? R – длина экватора;
2? r – длина параллели в широте?.
Следовательно, длина экватора равна длине соответствующей параллели, умноженной на секанс широты этой параллели. Все параллели, удлиняясь до длины экватора, растягиваются пропорционально sec?.
Разрезав цилиндр по одной из образующих, и развернув его на плоскость, получим сетку взаимно перпендикулярных меридианов и параллелей (рис. 1б).
Эта сетка не удовлетворяет требованию равноугольности, т.к. изменились расстояния между меридианами по параллели, ибо каждая параллель растянулась и стала равной длине экватора. В результате фигуры с поверхности Земли перенесутся на сетку в искаженном виде. Углы в природе не будут соответствовать углам на сетке.
Очевидно, для того, чтобы не было искажений, т.е. чтобы сохранить на карте подобие фигур, а следовательно, и равенство углов, необходимо все меридианы в каждой точке растянуть на столько, на сколько растянулись в данной точке параллели, т.е. пропорционально sec?. При этом эллипс на проекции вытянется в направлении малой полуоси и станет кругом, подобным острову круглой формы на поверхности Земли. Радиус круга станет равным большой полуоси эллипса, т.е. будет в sec? раз больше круга на поверхности Земли (рис. 1в).
Полученная таким образом картографическая сетка и проекция будут полностью удовлетворять требованиям, предъявленным к морским навигационным картам, т.е. проекцией Меркатора.
Поперечная цилиндрическая проекция
Поперечная цилиндрическая проекция применяется для составления морских навигационных карт и карт-сеток на приполюсные районы для?Г > 75?80°N(S).
Как и нормальная цилиндрическая проекция Меркатора, эта проекция является равноугольной (не искажает углы).
При построении и использовании карт в данной проекции применяется система квазигеографических координат («квази» (лат.) – как бы»), которая получается следующим образом (рис. 2):

Рис. 2. Поперечная цилиндрическая проекция
? Северный полюс условно помещается в точку с координатами: ?Г = 0°, ?Г = 180° (р-н Тихого океана), а южный полюс – в точку с координатами: ?Г = 0°, ?Г = 0° (р-н Гвинейского залива).
Полученные точки называются квазиполюсами: PNq – северным, PSq – южным.
? Проведя квазимеридианы и квазипараллели относительно квазиполюсов, получим новую систему координат, повернутую на 90° относительно географической.
Координатными осями этой системы будут:
1. начальный квазимеридиан – большой круг, проходящий через северный географический полюс (PN) и квазиполюсы (PNq и PSq), он совпадает с географическим (?Г = 0° и?Г = 180°) Гринвичским (начальным) меридианом;
2. квазиэкватор – большой круг, проходящий через географический полюс (PN) и точки на экваторе с долготами: ?Г = 90°Е (р-н Индийского океана) и?Г = 90°W (р-н Галапагоских островов).
Координатными линиями этой системы являются:
3. квазимеридианы – большие круги, проходящие через квазиполюсы;
4. квазипараллели – малые круги, плоскости которых параллельны плоскости квазиэкватора.
Положение любой точки на поверхности Земли на картах в поперечной цилиндрической проекции определяется квазиширотой (?q) и квазидолготой (?q).
? Квазиширота (?q) — угол при центре Земли (шара) между плоскостью квазиэкватора и радиусом, проведенным в данную точку земной поверхности. Квазиширота определяет положение квазипараллелей; отсчитывается от квазиэкватора к квазиполюсам: к PNq — + ?q и к PSq — –?q от 0° до 90°.
? Квазидолгота (?q) — двугранный угол при квазиполюсе между плоскостями начального квазимеридиана и квазимеридиана данной точки. Квазидолгота определяет положение квазимеридианов; отсчитывается от географического полюса PN по квазиэкватору к востоку (+?q) и к западу (–?q) от 0° до 180°.
Началом отсчета квазигеографических координат является географический северный полюс (т. PN).
Основные уравнения поперечной цилиндрической равноугольной проекции имеют вид:

y = R ?q; m = n = sec ?q
где

– радиус Земли (м);
m и n – частные масштабы по квазимеридиану и квазипараллели.

где а = 3437,74?.
Для эллипсоида Красовского: а = 6378245 м.
Переход от географических координат к квазикоординатам выполняется по формулам:
sin ?q = ?cos ? cos ?; tg ?q = ctg ? sin ?
sin ? = ?cos ?q cos ?q; tg ? = ?ctg ?q sin ?q
Прямой линией на такой карте изображается квазилоксодромия, пересекающая квазимеридианы под одним и тем же квазикурсом Кq (рис. 3).

Рис. 3. Квазилоксодромия
Локсодромия, вследствие кривизны географических меридианов, сходящихся на полюсе, будет изображаться кривой линией, обращенной выпуклостью к экватору.
Ортодромия же представит собой кривую малой кривизны, обращенную выпуклостью в сторону ближайшего квазиполюса.
Таким образом, при построении квазигеографической сетки карты используются формулы, аналогичные формулам для нормальной проекции Меркатора с заменой в них географических координат квазигеографическими.
Главный масштаб карт и карт-сеток относят к квазиэкватору.
Географические меридианы изображаются кривыми, близкими к прямым линиям.
Географические параллели изображаются кривыми линиями, близкими к окружностям.
Квазикурс (Кq) – угол между квазисеверной частью квазимеридиана и направлением носовой части продольной оси судна (отсчитывается по часовой стрелке от 0° до 360°).
Для перехода от географических направлений к направлениям в квазигеографической системе координат используется угол перехода Q – угол между географическим меридианом и квазимеридианом, значение которого можно получить из треугольника АPNPNq (рис. 2).

Кq = ИК? Q
В широтах >80°, когда соs ?q ? 1, получим:
sin Q = sin ?
т.е. в высоких широтах угол перехода практически равен долготе точки.
Прокладка курса на такой карте относительно географических или квазигеографических меридианов осуществляется по формуле:
ИК = Кq + ?; Кq = ИК? ?
Для прокладки расстояний необходимо пользоваться специальными вертикальными шкалами с линейным масштабом в морских милях, находящимися за боковыми рамками карт.
Для приполюсных районов Северного Ледовитого океана (СЛО) издаются карты М 1:500.000, на которых красным цветом нанесены квазипараллели, а черным цветом – географические меридианы и параллели с двойной оцифровкой красным и зеленым цветом. Это позволяет использовать карту-сетку в двух районах, симметричных относительно географических меридианов 0°…..180° и 90°Е…..90°W.
По аналогии с нормальной проекцией Меркатора на картах и картах-сетках в поперечной проекции Меркатора прямой линией изображается квазилоксодромия – кривая на поверхности Земли, пересекающая квазимеридианы под постоянным углом Кq (при?q ? 15° ее можно принимать за кратчайшую линию).
Уравнение квазилоксодромии:
?q2 ? ?q1 = tg Кq (Dq2 ? Dq1)
где?q2 ? ?q1 – разность квазидолгот точек;
Dq2 ? Dq1 – разность квазимеридиональных частей (табл. 26 «МТ-75» или табл. 2.28а «МТ-2000»).
Если известен главный масштаб карты или карты-сетки
МГ = 1: CГ
по квазиэкватору, то частный масштаб
МТ = 1: CТ
в точке с квазиширотой?q вычисляется по формуле:
МТ = МГ sec ?qТ
или
CТ = CГ cos ?qТ
(масштаб карт увеличивается по мере удаления от квазиэкватора).
Перспективные картографические проекции
Перспективные проекции применяются для составления некоторых справочных и вспомогательных карт (обзорные карты обширных районов, ортодромические карты, ледовые карты и пр.).
Эти проекции представляют собой частный случай азимутальных проекций.
(Азимутальные проекции – проекции, в которых меридианами являются радиальные прямые, исходящие из одной точки (центральной точки) под углами, равными соответствующим углам в натуре, а параллели – концентрические окружности, проведенные из точки схождения меридианов).

Рис. 4. Перспективные проекции
В перспективных проекциях (рис. 4) поверхность Земли (сферы) переносится на картинную плоскость методом проецирования с помощью пучка прямых, исходящих из одной точки – точки зрения (ТЗ).
Картинная плоскость может отстоять от поверхности сферы на некотором расстоянии (КП1), касаться сферы (КП2), или пересекать ее.
Точка зрения (т. О) лежит в одной из точек на перпендикуляре к картинной плоскости, проходящем через центр сферы.
Точку пересечения картинной плоскости с перпендикуляром называют центральной точкой карты (ЦТ).
В зависимости от положения точки зрения (ТЗ) одна и та же точка (т. К0) будет отстоять на различных расстояниях? от ЦТ карты, что и будет определять характер искажений, присущих данной проекции.
Наиболее распространенными перспективными проекциями являются – гномоническая (центральная) и стереографическая.
В гномонической проекции точка зрения (ТЗ) совпадает с центром сферы (ТЗ — в т. О1).
Сетка меридианов и параллелей карты строится по формулам, связывающим прямоугольные координаты точек с их географическими координатами.
В зависимости от положения центральной точки (ЦТ) карты, гномоническая проекция может быть (рис. 5):
a. нормальной (полярной) – если центральная точка (ЦТ) совмещена с географическими полюсом (рис. 5а);
b. экваториальной (поперечной) – если центральная точка (ЦТ) расположена на экваторе (рис. 5б);
c. косой – если центральная точка (ЦТ) расположена в некоторой промежуточной широте (рис. 5в).

а) б) в)
Рис. 5. Гномонические проекции
Общие свойства карт в гномонической проекции:
1) большие искажения как формы, так и размеров фигур, возрастающие по мере удаления от центральной точки (ЦТ) карты, поэтому измерение расстояний и углов на такой карте затруднено.
Измеряемые по карте углы и расстояния, называемые гномоническими, могут довольно значительно отличаться от истинных значений, вследствие чего для точных измерений карты в данной проекции не применяются;
2) отрезки дуги большого круга (ортодромии) изображаются прямыми линиями, что позволяет использовать гномоническую проекцию при построении ортодромических карт.
Карты в гномонической проекции строятся, как правило, в мелких масштабах для участков поверхности Земли меньше полушария, а сжатие Земли не учитывается.
В стереографической проекции картинная плоскость касается поверхности сферы, а точка зрения (ТЗ) расположена в т. О2 (рис. 4), являющейся антиподом точки касания. Эта проекция равноугольная, однако, для решения навигационных задач она неудобна, так как основные линии – локсодромия и ортодромия – изображаются в этой проекции сложными кривыми.
Стереографическая проекция является одной из основных для построения справочных и обзорных карт обширных территорий.
Равноугольная картографическая проекция Гаусса
Равноугольная проекция Гаусса применяется для составления топографических и речных карт, а также и планшетов.
Основной картографической сеткой этой проекции является сетка прямоугольных координат.
В прямоугольной системе координат проекции Гаусса вся поверхность земного эллипсоида разбита на 60 6-ти градусных зон, ограниченных меридианами, каждая из которых имеет свое начало координат – точку пересечения осевого меридиана зоны с экватором.

Рис. 6. Равноугольная проекция Гаусса
Счет зон введется от Гринвичского меридиана к Е от № 1 до № 60. Любую заданную точку в пределах зоны (т. А – рис. 6) получают в пересечении 2-х координатных линий:
1. дуги эллипса nAn?, параллельной осевому меридиану зоны и
2. кратчайшей линии АА?, проведенной из данной точки А перпендикулярно осевому меридиану.
За начало координат в каждой зоне принимается точка пересечения осевого меридиана с экватором.
Удаление точки А? (основание перпендикуляра) от экватора определяется абсциссой Х, а удаление малого круга nn? от осевого меридиана – ординатой У.
Абсциссы Х во всех зонах отсчитываются в обе стороны от экватора («+» — к N).
Ординате У приписывается знак «плюс» (+), когда заданная точка удалена к Е (востоку) от осевого меридиана зоны, и знак «минус» (–), когда заданная точка удалена от осевого меридиана к W (западу).
Для определения отечественного номера зоны, в которой расположена заданная точка с долготой?, применяют формулу:
n = (? + 3°)/6
(ближайшее целое число от 1 до 60).
Деление долготы? производится до ближайшего целого числа (для? = 55°Е? n = 10).
Для вычисления долготы L0 осевого меридиана зоны применяют формулу:
L0 = 6 n ? 3°
(для n = 10 ? L0 = 57°Е).
N – международная нумерация зон (от меридиана 180° к востоку).
Для?E: N = n + 30 и n = N – 30 (для восточного полушария).
Для?W: N = n – 30 и n = N + 30 (для западного полушария).
В табл. 2.31а «МТ-2000» указаны значения отечественных (n) и международных (N) номеров долготных зон, их границы и долгота (?0) осевого меридиана? см. табл. 10.1.
Прямоугольная система координат применяется при производстве топографических работ, составлении топографических карт, расчете направлений и расстояний между точками при малых расстояниях.
Граничными линиями карты в проекции Гаусса служат меридианы и параллели.
Положение заданной точки на карте определяют указанием плоских прямоугольных координат Х и У.
Этим координатам соответствуют километровые линии:
Х = const – параллельна экватору, и
У = const – параллельная осевому меридиану зоны.
Плоские координаты Х и У являются функциями географических координат точки и в общем виде могут быть представлены выражениями:
X = f1 (?,l); Y = f2 (?,l)
где l – разность долгот заданной точки и осевого меридиана, т.е.
l = ? ? L0
Вид функций f1 и f2 выводится так, чтобы обеспечивалось свойство равноугольности проекции при постоянном масштабе вдоль осевого меридиана зоны.
Километровые линии – линии одинаковых значений абсцисс X = const или ординат Y = const, выраженные целым числом км.
Километровые линии (X = const и У = const) ? два семейства взаимно перпендикулярных прямых и оцифровываются соответствующими значениями координат в км. На картах в проекции Меркатора линии X изображаются кривыми, обращенными выпуклостью к полюсу, а линии Y – кривыми, выпуклостью к осевому меридиану и расходящимся по мере удаления от экватора.
Для исключения отрицательных значений ординат оцифровка осевого меридиана увеличена на 500 км.
(При Х = 6656 и У = 23612 ? заданная точка удалена от экватора по осевому меридиану на 6656 км, находится в 23-й зоне и имеет условную ординату 612, а фактически? 112 км к Е).
Прямоугольные координаты Х и У выражают обычно в метрах.
Рамки карт в проекции Гаусса разбиты на минуты по широте и долготе. Значения широт и долгот параллелей и меридианов, ограничивающих карту, надписываются в углах рамки.
Меридианы и параллели на карту не наносятся. При необходимости их можно провести через соответствующие деления минут широты и долготы на рамках карты.
Угол между километровой линией У = const и истинным меридианом называется сближением или схождением меридианов. Этот угол (?) отсчитывается от северной части истинного меридиана по часовой стрелке до северной части километровой линии У = const
Схождению меридианов приписывают знак «плюс» (+), если заданная точка расположена к Е (востоку) от осевого меридиана, и знак «минус» (–), если она расположена к W (западу) от осевого меридиана зоны.
При известных координатах? и? заданной точки угол? вычисляется по формуле:
? = (? ? L0) sin ?
где L0 – долгота осевого меридиана зоны.

Ввиду ограниченной ширины зоны кратчайшие линии на картах в проекции Гаусса, изображаются практически прямыми линиями, а масштаб по всей карте постоянен.
Эти свойства, а также наличие сетки прямоугольных координат являются главными причинами широкого применения данной проекции при всех топографических, геодезических и гидрографических работах.
Для решения задач, связанных с использованием как географических, так и прямоугольных координат точек, а также с прокладкой отрезков локсодромий, применяются карты, составленные в нормальной проекции Меркатора с дополнительно нанесенной сеткой прямоугольных координат Гаусса. Основные свойства таких карт полностью соответствуют таковым для нормальной проекции Меркатора.

При переходе от физической поверхности Земли к ее отображению на плоскости (на карте) выполняют две операции: проектирование земной поверхности с ее сложным рельефом на поверхность земного эллипсоида, размеры которого установлены посредством геодезических и астрономических измерений, и изображение поверхности эллипсоида на плоскости посредством одной из картографических проекций.
Картографическая проекция - определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости.
Отображение земной поверхности на плоскости производится различными способами. Самый простой из них - перспективный . Суть его заключается в проектировании изображения с поверхности модели Земли (глобуса, эллипсоида) на поверхность цилиндра или конуса с последующим разворотом в плоскость (цилиндрические, конические) или непосредственным проектированием сферического изображения на плоскость (азимутальные).
Одним из простых способов понимания того, как картографические проекции изменяют пространственные свойства, является визуализация проекции света сквозь Землю на поверхность, которая называется проекционной поверхностью.
Представьте себе, что поверхность Земли прозрачна, и на ней нанесена картографическая сетка. Оберните кусок бумаги вокруг Земли. Источник света в центре Земли отбросит тени от сетки координат на кусок бумаги. Вы можете теперь развернуть бумагу и положить ее на плоскость. Форма координатной сетки на плоской поверхности бумаги очень отличается от ее формы на поверхности Земли (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Картографическая сетка географической системы координат, спроектированная на цилиндрическую поверхность

Проекция карты исказила картографическую сетку; объекты, расположенные у полюса, вытянуты.
Построение перспективным способом не требует использования законов математики. Обратите внимание на то, что в современной картографии картографические сетки строят аналитическим (математическим) способом. Его суть заключается в расчете положения узловых точек (точек пересечения меридианов и параллелей) картографической сетки. Расчет выполняется на основе решения системы уравнений, которые связывают географическую широту и географическую долготу узловых точек (φ, λ ) с их прямоугольными координатами (х, у ) на плоскости. Эта зависимость может быть выражена двумя уравнениями вида:

х = f 1 (φ, λ); (5.1)
у = f 2 (φ, λ), (5.2)

называемыми уравнениями картографических проекций. Они позволяют вычислять прямоугольные координаты х, у изображаемой точки по географическим координатам φ и λ . Число возможных функциональных зависимостей и, следовательно, проекций неограниченно. Необходимо лишь, чтобы каждая точка φ , λ эллипсоида изображалась на плоскости однозначно соответствующей точкой х, у и чтобы изображение было непрерывным.

5.2. ИСКАЖЕНИЯ

Разложить сфероид на плоскость нисколько не легче, чем расплющить кусок арбузной кожуры. При переходе на плоскость, как правило, искажаются углы, площади, формы и длины линий, поэтому для конкретных целей можно создать проекции, которые значительно уменьшат какой-либо один вид искажений, например, площадей. Картографическим искажением называют нарушение геометрических свойств участков земной поверхности и расположенных на них объектов при их изображении на плоскости .
Искажения всех видов тесно связаны между собой. Они находятся в такой зависимости, что уменьшение одного вида искажения сразу же влечет увеличение другого. При уменьшении искажений площадей увеличиваются искажения углов и т.д. Рис. 5.2 демонстрирует, как трехмерные объекты сжимаются для того, чтобы их можно было поместить на плоскую поверхность.

Рис. 5.2. Проектирование сферической поверхности на поверхность проекции

На различных картах искажения могут быть различных размеров: на крупномасштабных они практически неощутимы, но на мелкомасштабных они бывают очень велики.
В середине XIX века французским ученым Николя Аугустом Тиссо была дана общая теория искажений. В своей работе он предложил использовать специальные эллипсы искажений, которые представляют собой бесконечно малые эллипсы в любой точке карты, являющиеся отображением бесконечно малых окружностей в соответствующей точке на поверхности земного эллипсоида или шара. Эллипс становится окружностью в точке нулевых искажений. Изменение формы эллипса отражает степень искажения углов и расстояний, а размера - степень искажения площадей.

Рис. 5.3. Эллипс на карте (а ) и соответствующий ему круг на глобусе (б )

Эллипс искажений на карте может занимать различное положение относительно меридиана, проходящего через его центр. Ориентировка эллипса искажений на карте обычно определяется азимутом его большой полуоси . Угол между северным направлением меридиана, проходящего через центр эллипса искажений, и его ближайшей большой полуосью называется углом ориентировки эллипса искажений. На рис. 5.3, а этот угол обозначен буквой А 0 , а соответствующий ему угол на глобусе α 0 (рис. 5.3, б ).
Азимуты любого направления на карте и на глобусе всегда отсчитываются от северного направления меридиана по ходу часовой стрелки и могут иметь значения от 0 до 360°.
Любое произвольное направление (ОК ) на карте или на глобусе (О 0 К 0 ) может быть определено или азимутом данного направления (А - на карте, α - на глобусе) или углом между ближайшей к северному направлению меридиана большой полуосью и данным направлением (v - на карте, u - на глобусе).

5.2.1. Искажения длин

Искажение длин - базовое искажение. Остальные искажения из него логически вытекают. Искажение длин означает непостоянство масштаба плоского изображения, что проявляется в изменении масштаба от точки к точке, и даже в одной и той же точке в зависимости от направления.
Это означает, что на карте присутствует 2 вида масштаба:

• главный масштаб (М);
• частный масштаб .

Главным масштабом карты называют степень общего уменьшения земного шара до определенных размеров глобуса, с которого земная поверхность переносится на плоскость. Он позволяет судить об уменьшении длин отрезков при перенесении их с земного шара на глобус. Главный масштаб записывается под южной рамкой карты, но это не значит, что отрезок измеренный в любом месте карты будет соответствовать расстоянию на земной поверхности.
Масштаб в данной точке карты по данному направлению называют частным . Он определяется как отношение бесконечно малого отрезка на карте dl К к соответствующему ему отрезку на поверхности эллипсоида dl З . Отношение частного масштаба к главному, обозначаемое через μ , характеризует искажение длин

(5.3)

Для оценки отклонения частного масштаба от главного пользуются понятием увеличения масштаба (С ), определяемого отношением

(5.4)

Из формулы (5.4) следует, что:

• при С = 1 частный масштаб равен главному масштабу (µ = M ), т. е. искажения длин в данной точке карты по дан ному направлению отсутствуют;
• при С > 1 частный масштаб крупнее главного (µ > M );
• при С < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

Например, если при главном масштабе карты 1: 1 000 000 увеличение масштаба С равно 1,2, то µ = 1,2/1 000 000 = 1/833 333, т. е. одному сантиметру на карте соответствует примерно 8,3 км на местности. Частный масштаб крупнее главного (величина дроби больше).
При изображении поверхности глобуса на плоскости частные масштабы численно будут больше или меньше главного масштаба. Если принять главный масштаб равным единице (М = 1), то частные масштабы численно будут больше или меньше единицы. В этом случае под частным масштабом, численно равным увеличению масштаба, следует понимать отношение бесконечно малого отрезка в данной точке карты по данному направлению к соответствующему бесконечно малому отрезку на глобусе:

(5.5)

Отклонение частного масштаба (µ ) от единицы определяет искажение длины в данной точке карты по данному направлению (V ):

V = µ - 1 (5.6)

Часто искажение длины выражают в процентах к единице, т. е. к главному масштабу, и называют относительным искажением длины :

q = 100(µ - 1) = V×100 (5.7)

Например, при µ = 1,2 искажение длины V = +0,2 или относительное искажение длины V = +20%. Это означает, что отрезок длиной 1 см , взятый на глобусе, изобразится на карте отрезком длиной 1,2 см .
Судить о наличии на карте искажения длин удобно путем сравнения величины отрезков меридианов между соседними параллелями. Если они повсеместно равны, то искажения длин по меридианам нет, если такого равенства нет (рис. 5.5 отрезки АВ и CD ), то искажение длин линий имеется.

Рис. 5.4. Часть карты восточного полушария с показом картографических искажений

Если карта отображает такую большую территорию, что на ней показаны и экватор 0º и параллель 60° широты, то нетрудно по ней установить, имеется ли искажение длин вдоль параллелей. Для этого достаточно сравнить длину отрезков экватора и параллели с широтой 60° между соседними меридианами. Известно, что параллель 60° широты в два раза короче экватора. Если таково же соотношение указанных отрезков на карте, то искажения длин по параллелям нет; в противном случае оно имеется.
Наибольший показатель искажения длин у данной точки (большая полуось эллипса искажений) обозначают латинской буквой а , а самый меньший (малая полуось эллипса искажений) - b . Взаимно перпендикулярные направления, по которым действуют наибольший и наименьший показатели искажения длин, называют главными направлениями .
Для оценки различных искажений на картах из всех частных масштабов наибольшее значение имеют частные масштабы по двум направлениям: по меридианам и по параллелям. Частный масштаб по меридиану принято обозначать буквой m , а частный масштаб по параллели - буквой n.
В пределах мелкомасштабных карт сравнительно небольших территорий (например, Украины) отклонения масштабов длин от указанного на карте масштаба невелики. Ошибки при измерении длин в этом случае не превышают 2 - 2,5% от измеряемой длины, и ими в работе со школьными картами можно пренебречь. К некоторым картам для приближенных измерений прилагается измерительная масштабная линейка, сопровождаемая пояснительным текстом.
На морских картах , построенных в проекции Меркатора и на которых локсодромия изображается прямой линией, не дается специального линейного масштаба. Его роль выполняют восточная и западная рамки карты, представляющие собой меридианы, разбитые на деления через 1′ по широте.
В морской навигации расстояния принято оценивать в морских милях. Морская миля - это средняя длина дуги меридиана в 1′ по широте. Она заключает в себе 1852 м . Таким образом, рамки морской карты фактически разбиты на отрезки равные одной морской миле. Определив по прямой расстояние между двумя точками на карте в минутах меридиана, получают действительное расстояние в морских милях по локсодромии.

Рис 5.5. Измерение расстояний по морской карте.

5.2.2. Искажения углов

Искажения углов логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажений углов на карте принимают разность углов между направлениями на карте и соответствующими направлениями на поверхности эллипсоида.
За показатель искажения углов между линиями картографической сетки принимают величину отклонения их от 90° и обозначают его греческой буквой ε (эпсилон).
ε = Ө - 90°, (5.8)
где в Ө (тэта) - измеренный на карте угол между меридианом и параллелью.

На рисунке 5.4 обозначено, что угол Ө равен 115°, следовательно, ε = 25°.
В точке, где угол пересечения меридиана и параллели остается на карте прямым, углы между другими направлениями могут быть измененными на карте, поскольку в каждой данной точке величина искажения углов может изменяться с переменой направления.
За общий показатель искажения углов ω (омега) принимают наибольшее искажение угла в данной точке, равное разности его величины на карте и на поверхности земного эллипсоида (шара). При известны х показателях а и b величину ω определяют по формуле:

(5.9)

5.2.3. Искажения площадей

Искажения площадей логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажения площадей принимают отклонение площади эллипса искажений от исходной площади на эллипсоиде .
Простой способ выявления искаженности этого вида состоит в сравнении площадей клеток картографической сетки, ограниченных одноименными параллелями: при равенстве площадей клеток искажения нет. Это имеет место, в частности, на карте полушария (рис. 4,4), на которой заштрихованные клетки различаются по форме, но имеют одинаковую площадь.
Показатель искажения площадей (р ) вычисляют как произведение наибольшего и наименьшего показателей искажения длин в данном месте карты
p = а×b (5.10)
Главные направления в данной точке карты могут совпадать с линиями картографической сетки, но могут с ними не совпадать. Тогда показатели а и b по известным m и n вычисляют по формулам:

(5.11)
(5.12)

Входящий в уравнения показатель искажения р узнают в этом случае по произведению:

p = m×n×cos ε , (5.13)

Где ε (эпсилон) - величина отклонения угла пересечения картографической сетки от 9 0°.

5.2.4. Искажения форм

Искажение форм состоит в том, что форма участка или занятой объектом территории на карте отлична от их формы на уровенной поверхности Земли. Наличие искажения этого вида на карте можно установить путем сопоставления формы клеток картографической сетки, расположенных на одной широте: если они одинаковы, то искажения нет. На рисунке 5.4 две заштрихованные клетки различием формы свидетельствуют о наличии искажения данного вида. Можно также выявить искаженность формы определенного объекта (материка, острова, моря) по соотношению его ширины и длины на анализируемой карте и на глобусе.
Показатель искажения форм (k) зависит от различия наибольшего (а ) и наименьшего (b ) показателей искажения длин в данном месте карты и выражается формулой:

(5.14)

При исследовании и при выборе картографической проекции используют изоколы - линии равных искажений. Они могут наноситься на карту в виде пунктирных линий с целью показа величин искажений.

Рис. 5.6. Изоколы наибольших искажений углов

5.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИСКАЖЕНИЙ

Для различных целей создаются различные по характеру искажений проекции. Характер искажений проекции определяется отсутствием в ней определенных искажений (углов, длин, площадей). В зависимости от этого все картографические проекции по характеру искажений подразделяются на четыре группы:
— равноугольные (конформные);
— равнопромежуточные (эквидистантные);
—равновеликие (эквивалентные);
— произвольные.

5.3.1. Равноугольные проекции

Равноугольными называются такие проекции, в которых направления и углы изображаются без искажений. Углы, измеренные на картах равноугольных проекций, равны соответствующим углам на земной поверхности. Бесконечно малая окружность в этих проекциях всегда остается окружностью.
В равноугольных проекциях масштабы длин в любой точке по всем направлениям одинаковы, поэтому у них нет искажения формы бесконечно малых фигур и нет искажения углов (рис. 5.7, Б). Это общее свойство равноугольных проекций выражает формула ω = 0°. Но формы реальных (конечных) географических объектов, занимающих целые участки на карте, искажаются (рис. 5.8, а). У равноугольных проекций наблюдаются особенно большие искажения площадей (что отчетливо демонстрируют эллипсы искажений).

Рис. 5.7. Вид эллипсов искажений в проекциях равновеликих —- А, равноугольных — Б , произвольных — В , в том числе, равнопромежуточных по меридиану — Г и равнопромежуточных по параллели — Д. На схемах показано искажение угла 45°.

Эти проекции используются для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на топографических и навигационных картах. Недостатком равноугольных проекций является то, что в них сильно искажаются площади (рис. 5.7, а).

Рис. 5.8. Искажения в цилиндрической проекции:
а - равноугольной; б - равнопромежуточной; в - равновеликой

5.6.2. Равнопромежуточные проекции

Равнопромежуточными проекциями называют проекции, у которых масштаб длин одного из главных направлений сохраняется (остается неизменным) (рис. 5.7, Г. рис. 5.7, Д.) Применяются главным образом для создания мелкомасштабных справочных карт и карт звездного неба.

5.6.3. Равновеликие проекции

Равновеликими называются проекции, в которых нет искажений площадей, т. е. площадь фигуры, измеренной на карте, равна площади этой же фигуры на поверхности Земли. В равновеликих картографических проекциях масштаб площади повсюду имеет одну и ту же величину. Это свойство равновеликих проекций можно выразить формулой:

P = a× b = Const = 1 (5.15)

Неизбежным следствием равновеликости этих проекций является сильное искажение у них углов и форм, что хорошо поясняют эллипсы искажений (рис. 5.7, A).

5.6.4. Произвольные проекции

К произвольным относятся проекции, в которых имеются искажения длин, углов и площадей. Необходимость использования произвольных проекций объясняется тем, что при решении некоторых задач возникает необходимость в измерении углов, длин и площадей на одной карте. Но ни одна проекция не может быть одновременно и равноугольной, и равнопромежуточной, и равновеликой. Ранее уже говорилось, что с уменьшением изображаемого участка поверхности Земли на плоскости уменьшаются и искажения изображения. При изображении небольших участков земной поверхности в произвольной проекции величины искажений углов, длин и площадей незначительны, и при решении многих задач их можно не учитывать.

5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ВИДУ НОРМАЛЬНОЙ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ СЕТКИ

В картографической практике распространена классификация проекций по виду вспомогательной геометрической поверхности, которая может быть использована при их построении. С этой точки зрения выделяют проекции: цилиндрические , когда вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра; конические , когда вспомогательной плоскостью является боковая поверхность конуса; азимутальные , когда вспомогательная поверхность - плоскость (картинная плоскость).
Поверхности, на которые проектируют земной шар, могут быть к нему касательными или секущими его. Они могут быть и по-разному ориентированы.
Проекции, при построении которых оси цилиндра и конуса совмещались с полярной осью земного шара, а картинная плоскость, на которую проектировалось изображение, размещалась касательно в точке полюса, называются нормальными.
Геометрическое построение названных проекций отличается большой наглядностью.

5.4.1. Цилиндрические проекции

Для простоты рассуждения вместо эллипсоида воспользуемся шаром. Заключим шар в цилиндр, касательный по экватору (рис. 5.9, а).

Рис. 5.9. Построение картографической сетки в равновеликой цилиндрической проекции

Продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем пересечения этих плоскостей с боковой поверхностью цилиндра за изображение на ней меридианов. Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей аАа 1 и развернуть ее на плоскость, то меридианы изобразятся параллельными равноотстоящими прямыми линиями аАа 1 , бБб 1 , вВв 1 ..., перпендикулярными экватору АБВ.
Изображение параллелей может быть получено различными способами. Один из них - продолжение плоскостей параллелей до пересечения с поверхностью цилиндра, что даст в развертке второе семейство параллельных прямых линий, перпендикулярных меридианам.
Полученная цилиндрическая проекция (рис. 5.9, б) будет равновеликой , так как боковая поверхность шарового пояса АГЕД, равная 2πRh (где h - расстояние между плоскостями АГ и ЕД), соответствует площади изображения этого пояса в развертке. Главный масштаб сохраняется вдоль экватора; частные масштабы по параллели увеличиваются, а по меридианам уменьшаются по мере удаления от экватора.
Другой способ определения положения параллелей основан на сохранении длин меридианов, т. е. на сохранении главного масштаба вдоль всех меридианов. В этом случае цилиндрическая проекция будет равнопромежуточной по меридианам (рис. 5.8, б).
Для равноугольной цилиндрической проекции необходимо в любой точке постоянство масштаба по всем направлениям, что требует увеличения масштаба вдоль меридианов по мере удаления от экватора в соответствии с увеличением масштабов вдоль параллелей на соответствующих широтах (см. рис. 5.8, а).
Нередко вместо касательного цилиндра используют цилиндр, секущий сферу по двум параллелям (рис. 5.10), вдоль которых при развертке сохраняется главный масштаб. В этом случае частные масштабы вдоль всех параллелей между параллелями сечения будут меньше, а на остальных параллелях - больше главного масштаба.

Рис. 5.10. Цилиндр, секущий шар по двум параллелям

5.4.2. Конические проекции

Для построения конической проекции заключим шар в конус, касающийся шара по параллели АБВГ (рис. 5.11, а).

Рис. 5.11. Построение картографической сетки в равнопромежуточной конической проекции

Аналогично предыдущему построению продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем их пересечения с боковой поверхностью конуса за изображение на ней меридианов. После развертки боковой поверхности конуса на плоскости (рис. 5.11, б) меридианы изобразятся радиальными прямыми ТА, ТБ, ТВ,..., исходящими из точки Т. Обратите внимание на то, что углы между ними (схождение меридианов) будут пропорциональны (но не равны) разностям долгот. Вдоль параллели касания АБВ (дуги окружности радиусом ТА) сохраняется главный масштаб.
Положение других параллелей, изображающихся дугами концентрических окружностей, можно определить из определенных условий, одно из которых - сохранение главного масштаба вдоль меридианов (АЕ = Ае) - приводит к конической равнопромежуточной проекции.

5.4.3. Азимутальные проекции

Для построения азимутальной проекции воспользуемся плоскостью, касательной к шару в точке полюса П (рис. 5.12). Пересечения плоскостей меридианов с касательной плоскостью дают изображение меридианов Па, Пе, Пв,... в виде прямых, углы между которыми равны разностям долгот. Параллели, являющиеся концентрическими окружностями, могут быть определены различным путем, например, проведены радиусами, равными выпрямленным дугам меридианов от полюса до соответствующей параллели ПА = Па. Такая проекция будет равнопромежуточной по меридианам и сохраняет вдоль них главный масштаб.

Рис. 5.12. Построение картографической сетки в азимутальной проекции

Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции, построенные по законам геометрической перспективы. В этих проекциях каждая точка поверхности глобуса переносится на картинную плоскость по лучам, выходящим из одной точки С , называемой точкой зрения. В зависимости от положения точки зрения относительно центра глобуса проекции подразделяются на:

• центральные - точка зрения совпадает с центром глобуса;
• стереографические - точка зрения располагается на поверхности глобуса в точке, диаметрально противоположной точке касания картинной плоскости к поверхности глобуса;
• внешние - точка зрения вынесена за пределы глобуса;
• ортографические - точка зрения вынесена в бесконечность, т. е. проектирование осуществляется параллельными лучами.

Рис. 5.13. Виды перспективных проекций: а - центральная;
б - стереографическая; в - внешняя; г - ортографическая.

5.4.4. Условные проекции

Условные проекции - проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. В частности, к условным принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутальные и другие проекции, полученные путем преобразования одной или нескольких исходных проекций.
У псевдоцилиндрических проекций экватор и параллели - прямые, параллельные друг другу линии (что роднит их с цилиндрическими проекциями), а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 5.14)

Рис. 5.14. Вид картографической сетки в псевдоцилиндрической проекции.

У псевдоконических проекций параллели - дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 5.15);

Рис. 5.15. Картографическая сетка в одной из псевдоконических проекций

Построение сетки в поликонической проекции можно представить путем проектирования участков градусной сетки глобуса на поверхность нескольких касательных конусов и последующей развертки в плоскость образовавшихся на поверхности конусов полос. Общий принцип такого проектирования показан на рисунке 5.16.

Рис. 5.16. Принцип построения поликонической проекции:
а - положение конусов; б - полосы; в - развертка

Буквами S на рисунке обозначены вершины конусов. На каждый конус проектируют широтный участок поверхности глобуса, примыкающий к параллели касания соответствующего конуса.
Для внешнего облика картографических сеток в поликонической проекции характерно, что меридианы имеют форму кривых линий (кроме среднего — прямого), а параллели — дуги эксцентрических окружностей.
В поликонических проекциях, используемых для построения мировых карт, приэкваториальный участок проектируют на касательный цилиндр, поэтому на полученной сетке экватор имеет форму прямой линии, перпендикулярной среднему меридиану.
После развертки конусов получают изображение этих участков в виде полос на плоскости; полосы соприкасаются по среднему меридиану карты. Окончательный вид сетка получает после ликвидации разрывов между полосами путем растяжений (рис. 5.17).

Рис. 5.17. Картографическая сетка в одной из поликонических

Многогранные проекции - проекции, получаемые путем проектирования на поверхность многогранника (рис. 5.18), касательного или секущего шар (эллипсоид). Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольники, квадраты, ромбы). Разновидностью многогранных являются многополосные проекции, причем полосы могут «нарезаться» и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Топографические и обзорно-топографические создают исключительно в многогранной проекции, и рамка каждого листа представляет собой трапецию, составленную линиями меридианов и параллелей. За это приходится "расплачиваться" - блок листов карт нельзя совместить по общим рамкам без разрывов.

Рис. 5.18. Схема многогранной проекции и расположение листов карт

Необходимо отметить, что в наши дни для получения картографических проекций не пользуются вспомогательными поверхностями. Никто не помещает шар в цилиндр и не надевает на него конус. Это всего лишь геометрические аналогии, позволяющие понять геометрическую суть проекции. Изыскание проекций выполняют аналитически. Компьютерное моделирование позволяет достаточно быстро рассчитать любую проекцию с заданными параметрами, а автоматические графопостроители легко вычерчивают соответствующую сетку меридианов и параллелей, а при необходимости - и карту изокол.
Существуют специальные атласы проекций, позволяющие подобрать нужную проекцию для любой территории. В последнее время созданы электронные атласы проекций, с помощью которых легко отыскать подходящую сетку, сразу оценить ее свойства, а при необходимости провести в интерактивном режиме те или иные модификации или преобразования.

5.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОРИЕНТИРОВАНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Нормальные проекции - плоскость проектирования касается земного шара в точке полюса или ось цилиндра (конуса) совпадает с осью вращения Земли (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Нормальные (прямые) проекции

Поперечные проекции - плоскость проектирования касается экватора в какой-либо точке или ось цилиндра (конуса) совпадает с плоскостью экватора (рис. 5.20).

Рис. 5.20. Поперечные проекции

Косые проекции - плоскость проектирования касается земного шара в любой заданной точке (рис. 5.21).

Рис. 5.21. Косые проекции

Из косых и поперечных проекций наиболее часто используют косые и поперечные цилиндрические, азимутальные (перспективные) и псевдоазимутальные проекции. Поперечные азимутальные применяют для карт полушарий, косые - для территорий, имеющих округлую форму. Карты материков часто составляют в поперечных и косых азимутальных проекциях. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса - Крюгера применяется для государственных топографических карт.

5.6. ВЫБОР ПРОЕКЦИЙ

На выбор проекций влияет много факторов, которые можно сгруппировать следующим образом:

• географические особенности картографируемой территории, ее положение на Земном шаре, размеры и конфигурация;
• назначение, масштаб и тематика карты, предполагаемый круг потребителей;
• условия и способы использования карты, задачи, которые будут решаться по карте, требования к точности результатов измерений;
• особенности самой проекции - величины искажений длин, площадей, углов и их распределение по территории, форма меридианов и параллелей, их симметричность, изображение полюсов, кривизна линий кратчайшего расстояния.

Первые три группы факторов задаются изначально, четвертая - зависит от них. Если составляется карта, предназначенная для навигации, обязательно должна быть использована равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора. Если картографируется Антарктида, то почти наверняка будет принята нормальная (полярная) азимутальная проекция и т.д.
Значимость названных факторов может быть различной: в одном случае на первое место ставят наглядность (например, для настенной школьной карты), в другом - особенности использования карты (навигация), в третьем - положение территории на земном шаре (полярная область). Возможны любые комбинации, а следовательно - и разные варианты проекций. Тем более что выбор очень велик. Но все же можно указать некоторые предпочтительные и наиболее традиционные проекции.
Карты мира обычно составляют в цилиндрических, псевдоцилиндрических и поликонических проекциях. Для уменьшения искажений часто используют секущие цилиндры, а псевдоцилиндрические проекции иногда дают с разрывами на океанах.
Карты полушарий всегда строят в азимутальных проекциях. Для западного и восточного полушарий естественно брать поперечные (экваториальные), для северного и южного полушарий - нормальные (полярные), а в других случаях (например, для материкового и океанического полушарий) — косые азимутальные проекции.
Карты материков Европы, Азии, Северной Америки, Южной Америки, Австралии с Океанией чаще всего строят в равновеликих косых азимутальных проекциях, для Африки берут поперечные, а для Антарктиды - нормальные азимутальные.
Карты отдельных стран , административных областей, провинций, штатов выполняют в косых равноугольных и равновеликих конических или азимутальных проекциях, но многое зависит от конфигурации территории и ее положения на земном шаре. Для небольших по площади районов задача выбора проекции теряет актуальность, можно использовать разные равноугольные проекции, имея в виду, что искажения площадей на малых территориях почти неощутимы.
Топографические карты Украины создают в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса, а США и многие другие западные страны - в универсальной поперечно-цилиндрической проекции Меркатора (сокращенно UТМ). Обе проекции близки по своим свойствам; по существу та и другая являются многополостными.
Морские и аэронавигационные карты всегда даются исключительно в цилиндрической проекции Меркатора, а тематические карты морей и океанов создают в самых разнообразных, иногда довольно сложных проекциях. Например, для совместного показа Атлантического и Северного Ледовитого океанов применяют особые проекции с овальными изоколами, а для изображения всего Мирового океана - равновеликие проекции с разрывами на материках.
В любом случае при выборе проекции, в особенности для тематических карт, следует иметь в виду, что обычно искажения на карте минимальны в центре и быстро возрастают к краям. Кроме того, чем мельче масштаб карты и обширнее пространственный охват, тем большее внимание приходится уделять «математическим» факторам выбора проекции, и наоборот - для малых территорий и крупных масштабов более существенными становятся «географические» факторы.

5.7. РАСПОЗНАВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ

Распознать проекцию, в которой составлена карта, - значит установить ее название, определить принадлежность к тому или иному виду, классу. Это нужно для того, чтобы иметь представление о свойствах проекции, характере, распределении и величине искажений - словом, для того, чтобы знать, как пользоваться картой, чего от нее можно ожидать.
Некоторые нормальные проекции сразу распознаются по виду меридианов и параллелей. Например, легко узнаваемы нормальные цилиндрические, псевдоцилиндрические, конические, азимутальные проекции. Но даже опытный картограф не сразу распознает многие произвольные проекции, потребуются специальные измерения по карте, чтобы выявить их равноугольность, равновеликость или равнопромежуточность по одному из направлений. Для этого существуют особые приемы: сперва устанавливают форму рамки (прямоугольник, окружность, эллипс), определяют, как изображены полюсы, затем измеряют расстояния между соседними параллелями вдоль по меридиану, площади соседних клеток сетки, углы пересечения меридианов и параллелей, характер их кривизны и т.п.
Существуют специальные таблицы-определители проекций для карт мира, полушарий, материков и океанов. Проведя необходимые измерения по сетке, можно отыскать в такой таблице название проекции. Это даст представление о ее свойствах, позволит оценить возможности количественных определений по данной карте, выбрать соответствующую карту с изоколами для внесения поправок.

Видео
Виды проекций по характеру искажений

Вопросы для самоконтроля:

1. Какие элементы составляют математическую основу карты?
2. Что называют масштабом географической карты?
3. Что называют главным масштабом карты?
4. Что называют частным масштабом карты?
5. Чем обусловлено отклонение частного масштаба от главного на географической карте?
6. Как измерить расстояние между точками на морской карте?
7. Что представляет собой эллипс искажений и для каких целей он используется?
8. Как можно определить по эллипсу искажений наибольший и наименьший масштабы?
9. Какие существует методы переноса поверхности земного эллипсоида на плоскость, в чем их сущность?
10. Что называют картографической проекцией?
11. Как классифицируют проекции по характеру искажений?
12. Какие проекции называют равноугольными, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
13. Какие проекции называют равнопромежуточными, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
14. Какие проекции называют равновеликими, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
15. Какие проекции называют произвольными?

По характеру искажений проекции делятся на равноугольные, равновеликие и произвольные.

Равноугольные (или конформные) проекции сохраняют величину углов и формы бесконечно малых фигур . Масштаб длин в каждой точке постоянен по всем направлениям (что обеспечивается закономерным увеличением расстояний между соседними параллелями по меридиану) и зависит только от положения точки. Эллипсы искажений выражаются окружностями различных радиусов.

Для каждой точки в равноугольных проекциях справедливы зависимости:

/Li = a = b = m = n; а> = 0°; 0 = 90°; k = 1 и а0=0° (или ±90°).

Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту (например, при решении навигационных задач).

Равновеликие (или эквивалентные) проекции не искажают площади . В этих проекциях площади эллипсов искажений равны . Увеличение масштаба длин по одной оси эллипса искажений компенсируется уменьшением масштаба длин по другой оси, что вызывает закономерное уменьшение расстояний между соседними параллелями по меридиану и, как следствие, — сильное искажение форм.

Такие проекции удобны для измерения площадей объектов (что, например, существенно для некоторых экономических или морфометрических карт).

В теории математической картографии доказывается, что нет, и не может быть проекции, которая была бы одновременно и равноугольной, и равновеликой . Вообще, чем больше искажения углов, тем меньше искажения площадей и наоборот

Произвольные проекции искажают и углы, и площади . При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределение искажений, достигая как бы некоторого компромисса. Эта группа проекций используется в случаях, когда чрезмерные искажения углов и площадей одинаково нежелательны . По своим свойствам произвольные проекции лежат между равноугольными и равновеликими . Среди них можно выделить равнопромежуточные (или эквидистантные) проекции, во всех точках которых масштаб по одному из главных направлений постоянен и равен главному.

Классификация картографических проекций по виду вспомогательной геометрической поверхности .

По виду вспомогательной геометрической поверхности различают проекции: цилиндрические, азимутальные и конические.

Цилиндрическими называют проекции, в которых сеть меридианов и параллелей с поверхности эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного (или секущего) цилиндра, а затем цилиндр разрезается по образующей и развертывается в плоскость (рис. 6).

Рис.6. Нормальная цилиндрическая проекция

Искажения отсутствуют на линии касания и минимальны вблизи нее. Если цилиндр секущий, то имеется две линии касания, а значит 2 ЛНИ. Между ЛНИ искажения минимальны.

В зависимости от ориентировки цилиндра относительно оси земного эллипсоида различают проекции:

– нормальные, когда ось цилиндра совпадает с малой осью земного эллипсоида; меридианы в этом случае представляют собой равноотстоящие параллельные прямые, а параллели – прямые, им перпендикулярные линии;

– поперечные, когда ось цилиндра лежит в плоскости экватора; вид сетки: средний меридиан и экватор – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии (рис. в).

– косые, когда ось цилиндра составляет с осью эллипсоида острый угол; в косых цилиндрических проекциях меридианы и параллели – кривые линии.

Азимутальными называют проекции, в которых сеть меридианов и параллелей переносится с поверхности эллипсоида на касательную (или секущую) плоскость (рис.7).

Рис. 7. Нормальная азимутальная проекция

Изображение около точки касания (или линии сечения) плоскости земного эллипсоида почти совсем не искажается. Точка касания является точкой нулевых искажений.

В зависимости от положения точки касания плоскости на поверхности земного эллипсоида среди азимутальных проекций различают:

– нормальные, или полярные, когда плоскость касается Земли в одном из полюсов; вид сетки: меридианы – прямые линии, радиально расходящиеся из полюса, параллели – концентрические окружности с центрами в полюсе (рис. 7);

– поперечные, или экваториальные, когда плоскость касается эллипсоида в одной из точек экватора; вид сетки: средний меридиан и экватор – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии (в некоторых случаях параллели изображаются прямыми линиями;

– косые, или горизонтные, когда плоскость касается эллипсоида в какой-либо точке, лежащей между полюсом и экватором. В косых проекциях только средний меридиан, на котором расположена точка касания, представляет собой прямую, остальные меридианы и параллели – кривые линии.

Коническими называются проекции, в которых сеть меридианов и параллелей с поверхности эллипсоида переносится на боковую поверхность касательного (или секущего) конуса (рис. 8).

Рис. 8. Нормальная коническая проекция

Искажения мало ощутимы вдоль линии касания или двух линий сечения конуса земного эллипсоида, которые являются линией (линиями) нулевых искажений ЛНИ. Подобно цилиндрическим конические проекции делятся на:

– нормальные, когда ось конуса совпадает с малой осью земного эллипсоида; меридианы в этих проекциях представлены прямыми линиями, расходящимися из вершины конуса, а параллели – дугами концентрических окружностей.

– поперечные, когда ось конуса лежит в плоскости экватора; вид сетки: средний меридиан и параллель касания – взаимно перпендикулярные прямые, остальные меридианы и параллели – кривые линии;

– косые, когда ось конуса составляет с осью эллипсоида острый угол; в косых конических проекциях меридианы и параллели – кривые линии.

В нормальных цилиндрических, азимутальных и конических проекциях картографическая сетка ортогональна – меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами, что является одним из важных диагностических признаков этих проекций.

Если при получении цилиндрических, азимутальных и конических проекций использовать геометрический метод (линейное проектирование вспомогательной поверхности на плоскость), то такие проекции называют перспективно-цилиндрическими, перспективно-азимутальными (обыкновенными перспективными) и перспективно-коническими соответственно.

Поликоническими называются проекции, в которых сеть меридианов и параллелей с поверхности эллипсоида переносится на боковые поверхности нескольких конусов, каждый из которых разрезается по образующей и развертывается в плоскость. В поликонических проекциях параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей, центральный меридиан представляет собой прямую, все остальные меридианы – кривые линии, симметричные относительно центральному.

Условными называются проекции, при построении которых не прибегают к использованию вспомогательных геометрических поверхностей. Сеть меридианов и параллелей строят по какому-нибудь заранее заданному условию. Среди условных проекций можно выделитьпсевдоцилиндрические , псевдоазимутальные и псевдоконические проекции, сохраняющие от исходных цилиндрических, азимутальных и конических проекций вид параллелей. В этих проекцияхсредний меридиан – прямая линия, остальные меридианы – кривые линии .

К условным проекциям относятся также многогранные проекции , которые получают путем проектирования на поверхность многогранника, касающегося или секущего земной эллипсоид. Каждая грань представляет собой равнобочную трапецию (реже – шестиугольники, квадраты, ромбы). Разновидностью многогранных проекций являются многополосные проекции , причем полосы могут нарезаться и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Основное неудобство многогранных проекций состоит в невозможности совмещения блока листов карт по общим рамкам без разрывов.

Практически ценным является подразделение по территориальному охвату. По территориальному охвату выделяются картографические проекции для карт мира, полушарий, материков и океанов, карт отдельных государств и их частей. По этому принципу построены таблицы-определители картографических проекций. Кроме того, в последнее время предпринимаются попытки к разработке генетических классификаций картографических проекций, построенных на виде описывающих их дифференциальных уравнений. Эти классификации охватывают все возможное множество проекций, но являются крайне ненаглядными, т.к. не связаны с видом сетки меридианов и параллелей.

Тема 3. Искажения на картах. Виды искажений

Цели и задачи изучения темы:

Дать представление об искажениях на картах и видах искажений:

— сформировать представление об искажениях в длинах;

— сформировать представление об искажениях в площадях;

— сформировать представление об искажениях в углах;

— сформировать представление об искажениях в формах;

Результат освоения темы:

Поверхность эллипсоида (или шара) нельзя развернуть в плоскость с сохранением подобия всех очертаний.

Если поверхность глобуса (модели земного эллипсоида), разрезанную на полоски по меридианам (или параллелям), развернуть в плоскость, в картографическом изображении произойдут разрывы или перекрытия, и с удалением от экватора (или от среднего меридиана) они будут возрастать.

Вследствие этого необходимо производить растяжение или сжатие полосок, чтобы заполнить разрывы по меридианам или параллелям.

В результате растяжений или сжатий в картографическом изображении возникают искажения в длинах m (мю), площадяхp , углах w и формах k .

В связи с этим масштаб карты, характеризующий степень уменьшения объектов при переходе от натуры к изображению, не остается постоянным: он меняется от точки к точке и даже в одной точке по разным направлениям. Поэтому следует различать главный масштаб ds , равный заданному масштабу, в котором происходит уменьшение земного эллипсоида.

Главный масштаб показывает общую степень уменьшения, принятую для данной карты.

На картах всегда подписывается главный масштаб.

Во всех остальных местах карты масштабы будут отличаться от главного, они будут крупнее или мельче главного, эти масштабы называют частными и обозначают буквой ds1.

Под масштабом в картографии понимают отношение бесконечно малого отрезка, взятого на карте, к соответствующему ему отрезку на земном эллипсоиде (земном шаре). Все зависит от того, что берется за основу при построении проекции – земной шар или эллипсоид.

Чем меньше будет изменение масштаба в пределах данного участка, тем совершеннее будет картографическая проекция.

Для выполнения картографических работ необходимо знать распределение на карте величин частных масштабов, чтобы можно было вносить поправки в результаты измерений.

Частные масштабы вычисляют по специальным формулам.

Анализ вычисления частных масштабов показывает, что среди них имеется одно направление с наибольшим масштабом , а другое – с наименьшим.

Наибольший масштаб, выраженный в долях главного масштаба обозначают буквой «а», а наименьший – буквой «в» .

Направления наибольшего и наименьшего масштабов называют главными направлениями .

Главные направления только тогда совпадают с меридианами и параллелями, когда меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами.

В таких случаях масштаб по меридианам обозначают буквой «m» , а по параллелям – буквой «n» .

Отношение частного масштаба к главному характеризует искажение длин m (мю).

Иными словами, величина m (мю)есть отношение длины бесконечно малого отрезка на карте к длине соответствующего ему бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида или шара.

m (мю) = ds1

Искажение площадей.

Искажение площади p определяется как отношение бесконечно малых площадей на карте к бесконечно малым площадям на эллипсоиде или шаре:

p= dp1

Проекции, в которых отсутствуют искажения площадей, называются равновеликими.

При создании физико-географических и социально-экономических карт, бывает необходимо сохранить верное соотношение площадей. В таких случаях выгодно применять равновеликие и произвольные (равнопромежуточные) проекции.

В равнопромежуточных проекциях искажения площади в 2-3 раза меньше, чем в равноугольных.

Для политических карт мира желательно сохранить правильность соотношения площадей отдельных государств, не исказив внешний контур государства.

В этом случае выгодно применять равнопромежуточную проекцию.

Проекция Меркатора для таких карт не подходит, так как в ней сильно искажаются площади

Искажение углов . Возьмем на поверхности глобуса угол u (рис. 5), который на карте изобразиться углом u′ .

Каждая сторона угла на глобусе образует с меридианом угол α, который называется азимутом. На карте этот азимут изобразится углом α′.

В картографии приняты два вида угловых искажений: искажения направления и искажения углов.

А А′

α α′

0 u 0′ u′

В В′

Искажения углов

Разность между азимутом стороны угла на карте α′ и азимутом стороны угла на глобусе называется искажением направления , т.е.

ω = α′ — α

Разность между величиной угла u′ на карте и величиной u на глобусе называется искажением угла, т.е.

2ω = u′ — u

Искажение угла выражается величиной 2ω потому, что угол состоит из двух направлений, каждое из которых имеет искажение ω .

Проекции, в которых отсутствуют искажения углов, называются равноугольными.

Искажение форм напрямую связано с искажениями углов (конкретным значениям w соответствуют определенные значения k ) и характеризует деформа­цию фигур на карте по отношению к соответствующим фигурам на местности.

Искажения форм будут тем больше, чем больше будут отличаться масштабы по главным направлениям.

В качестве меры искажения форм принимают коэффициент k .

k = а/в

где а и в – наибольший и наименьший масштабы в данной точке.

Искажения на географических картах тем больше, чем больше изображаемая территория, а в пределах одной карты искажения возрастают с удалением от центра к краям карты, причем скорость нарастания меняется по разным направлениям.

Для того, чтобы наглядно представить себе характер искажений в разных частях карты, часто пользуются, так называемым эллипсом искажений.

Если взять на глобусе окружность бесконечно-малого размера, то при переходе на карту из-за растяжений или сжатий эта окружность исказится подобно очертаниям географических объектов и примет форму эллипса.

Этот эллипс называют эллипсом искажений или индикатриссой Тиссо.

Размеры и степень вытянутости этого эллипса по сравнению с окружностью отражают все виды искажений, свойственные карте в этом месте. Вид и размеры эллипса неодинаковы в разных проекциях и даже в разных точках одной и той же проекции.

Наибольший масштаб в эллипсе искажений совпадает с направлением большой оси эллипса, а наименьший — с направлением малой оси.

Эти направления называются главными направлениями .

Эллипс искажений на картах не изображается.

Им пользуются в математической картографии для выяснения величины и характера искажений в какой-нибудь точке проекции.

Направления осей эллипса могут совпадать с меридианами и параллелями, а в некоторых случаях оси эллипса могут занимать относительно меридианов и параллелей произвольное положение.

Определение искажений для ряда точек карты и последующее проведение по ним изокол — линий, соединяющих точки с одинаковыми значениями искажений, дает наглядную карти­ну распределения искажений и позволяет учитывать искажения при пользовании картой.

Для определения искажений в пределах карты можно пользоваться специальными таблицами или схемами изокол. Изоколы могут быть для углов, площадей, длин или форм.

Каким бы способом не развертывать земную поверхность на плоскость, обязательно возникнут разрывы и перекрытия, что в свою очередь приводит к растяжениям и сжатиям.

Но на карте вместе с тем будут места, в которых не будет сжатий и растяжений.

Линии или точки на географической карте, в которых нет искажений и сохраняется главный масштаб карты, называют линиями или точками нулевых искажений (ЛНИ и ТНИ).

По мере удаления от них искажения возрастают.

Вопросы для повторения и закрепления материала

Что служит причиной картографических искажений?

Виды картографических проекций и их характеристики

Какие виды искажений возникают при переходе от поверхности
эллипсоида к плоскости?

3. Объясните, что такое точка и линия нулевых искажений?

4. На каких картах масштаб остается постоянным?

5. Как определить наличие и величину искажений в определенных местах карты?

Что такое индикатриса Тиссо?

7. Каково назначение эллипса искажений?

8. Что такое изоколы и каково их назначение?

Картографическая проекция - это способ перехода от реальной, геометрически сложной земной поверхности к плоскости карты.

Сферическую поверхность невозможно развернуть на плоскости без деформаций - сжатия или растяжения.

Это значит, что всякая карта имеет те или иные искажения. Различают искажения длин площадей, углов и форм. На крупномасштабных картах (см.

Масштаб) искажения могут быть практически неощутимы, но на мелкомасштабных они бывают очень велики. Картографические проекции обладают разными свойствами в зависимости от характера и размера искажений.

Тема 5. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ И ИСКАЖЕНИЯ

Среди них различают:

Равноугольные проекции . Они сохраняют без искажения углы и формы малых объектов, зато в них резко деформируются длины и площади объектов. По картам, составленным в такой проекции, удобно прокладывать маршруты судов, но невозможно измерять площади;

Равновеликие проекции. Они не искажают площадей, но углы и формы в них сильно искажены.

Карты в равновеликих проекциях удобны для определения размеров государства, земельных угодий;
Равнопромежуточные. Они имеют постоянный масштаб длин по одному направлению. Искажения углов и площадей в них уравновешены;

Произвольные проекции . Они имеют искажения и углов и площадей в любых соотношениях.
Проекции различаются не только по характеру и размеру искажений, но и по виду поверхности, которую используют при переходе от геоида к плоскости карты.

Среди них различают:

Цилиндрические , когда проектирование с геоида идет на поверхность цилиндра.

Цилиндрические проекции чаще всего применяют в картографии. Они обладают наименьшими искажениями в области экватора и средних широт. Эту проекцию чаще всего применяют для создания карт мира;

Конические . Эти проекции чаще всего выбирали для создания карт бывшего СССР. Наименьшее количество искажений при конических проекциях приходилось на параллели 47° северной широты и 62° северной долготы.

Это очень удобно, поскольку между указанными параллелями размещались основные хозяйственные зоны этого государства и здесь была сосредоточена максимальная нагрузка карт. Зато в конических проекциях сильно искажаются районы, лежащие в высоких широтах и акватории Северного Ледовитого океана;

Азимутальная проекция . Это такой вид картографической проекции, когда проектирование ведется на плоскость.

Такой вид проекции применяют при создании карт Антарктиды или Арктики или какого-либо другого района Земли.

В результате картографических проекций каждой точке на земном шаре, обладающей определенными географическими координатами, соответствует одна и только одна точка на карте.

Кроме цилиндрической, конической и азимутальной картографических проекций, существует большой класс условных проекций, при построении которых пользуются не геометрическими аналогами, а лишь математическими уравнениями нужного вида.

Картографическая проекция википедия
Поиск по сайту:

Для выбора наивыгоднейшего пути при переходе судна из одного пункта в другой судоводитель пользуется картой.

Картой называют уменьшенное обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное по определенному масштабу и способу.

Так как Земля имеет сферическую форму, ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений.

Если разрезать любую сферическую поверхность на части (по меридианам) и наложить эти части на плоскость, то изображение этой поверхности на ней получилось бы искаженной и с разрывами. В экваториальной части были бы складки, а у полюсов - разрывы.

Для решения навигационных задач пользуются искаженными, плоскими изображениями земной поверхности - картами, в которых искажения обусловлены и соответствуют определенным математическим законам.

Математически определенные условные способы изображения на плоскости всей или части поверхности шара или эллипсоида вращения с малым сжатием называются картографической проекцией , а принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей - картографической сеткой.

Все существующие картографические проекции могут быть подразделены на классы по двум признакам: по характеру искажений и по способу построения картографической сетки.

По характеру искажений проекции разделяются на равноугольные (или конформные), равновеликие (или эквивалентные) и произвольные.

Равноугольные проекции. На этих проекциях углы не искажаются, т.

е. углы на местности между какими-либо направлениями равны углам на карте между теми же направлениями. Бесконечно малые фигуры на карте в силу свойства равноугольности будут подобны тем же фигурам на Земле.

Если остров круглой формы в природе, то и на кар- те в равноугольной проекции он изобразится кружком некоторого радиуса. Но линейные же размеры на картах этой проекции будут искажены.

Равновеликие проекции. На этих проекциях сохраняется пропорциональность площадей фигур, т.

е. если площадь какого-либо участка на Земле в два раза больше другого, то на проекции изображение первого участка по площади тоже будет в два раза больше изображения второго. Однако в равновеликой проекции не сохраняется подобие фигур. Остров круглой формы будет изображен на проекции в виде равновеликого ему эллипса.

Произвольные проекции. Эти проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни равенства площадей, но могут иметь какие-нибудь другие специальные свойства, необходимые для решения на них определенных практических задач.

Наибольшее применение в судовождении из карт произвольных проекций получили ортодромические, на которых ортодромии (большие круги шара) изображаются прямыми линиями, а это очень важно при использовании некоторых радионавигационных систем при плавании по дуге большого круга.

Картографическая сетка для каждого класса проекций, в которой изображение меридианов и параллелей имеет наиболее простой вид, называется нормальной сеткой.

По способу построения картографической нормальной сетки все проекции делятся на конические, цилиндрические, азимутальные, условные и др.

Конические проекции. Проектирование координатных линий Земли производят по какому-либо из законов на внутреннюю поверхность описанного или секущего конуса, а затем, разрезав конус по образующей, разворачивают его на плоскость.

Для получения нормальной прямой конической сетки делают так, чтобы ось конуса совпадала с земной осью PNР S (рис, 33).

В этом случае меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, а параллели - дугами концентрических окружностей. Если ось конуса располагают под углом к земной оси, то такие сетки называют косыми коническими.

В зависимости от закона, выбранного для построения параллелей, конические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными.

Конические проекции применяются для географических карт.

Цилиндрические проекции. Картографическую нормальную сетку получают путем проектирования координатных линий Земли по какому-либо закону на боковую поверхность касательного или секущего цилиндра, ось которого совпадает с осью Земли (рис.34), и последующей развертки по образующей на плоскость.

В прямой нормальной проекции сетка получается из взаимно перпендикулярных прямых линий меридианов Л, В, С, D, F, G и параллелей аа’,bb’, сс При этом без больших искажений будут изображены участки поверхности экваториальных районов (см, окружность К и ее проекцию К на рис.

34), но участки полярных районов в этом случае не могут быть спроектированы.

Если повернуть цилиндр так, чтобы ось его расположилась в плоскости экватора, а поверхность его касалась полюсов, то получается поперечная цилиндрическая проекция (например, поперечная цилиндрическая проекция Гаусса).

Если цилиндр поставить под другим углом к оси Земли, то получаются косые картографические сетки.

Лекция: Виды картографических проекций

На этих сетках меридианы и параллели изображаются кривыми линиями.

Азимутальные проекции. Нормальную картографическую сетку получают проектированием координатных линий Земли на так называемую картинную плоскость Q (рис. 35) - касательную к полюсу Земли. Меридианы нормальной сетки на проекции имеют вид радиальных прямых, исходящих из. центральной точки проекции PN под угла- ми, равными соответствующим углам в натуре, а параллели - концентрическими окружностями с центром в полюсе.

Картинную плоскость можно располагать в любой точке земной поверхности, и точку касания называют центральной точкой проекции и принимают за зенит.

Азимутальная проекция зависит от того, какими радиусами проводятся параллели. Подчиняя радиусы той или иной зависимости от широты, получают различные азимутальные проекции, удовлетворяющие условиям либо равноугольности, либо равновеликости.

Перспективные проекции. Если картографическую сетку получают проектированием меридианов и параллелей на плоскость по законам линейной перспективы из постоянной точки зрения Т.З.

(см. рис. 35), то такие проекции называют перспективными. Плоскость можно располагать на любом расстоянии от Земли или так, чтобы она касалась ее. Точка зрения должна находиться на так называемом основном диаметре земного шара или на его продолжении, причем картинная плоскость должна быть перпендикулярна основному диаметру.

Когда основной диаметр проходит через полюс Земли, проекция называется прямой или полярной (см. рис. 35); при совпадении основного диаметра с плоскостью экватора проекция называется поперечной или экваториальной, а при других положениях основного диаметра проекции называются косыми или горизонтальными.

Кроме того, перспективные проекции зависят от расположения точки зрения от центра Земли на основном диаметре.

Когда точка зрения совпадает с центром Земли, проекции называются центральными или гномоническими; когда точка зрения находится на поверхности Землистереографическими; при удалении точки зрения на какое-либо известное расстояние от Земли проекции называются внешними, и при удалении точки зрения в бесконечность - ортографическими.

На полярных перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются аналогично полярной азимутальной проекции, но расстояния, между параллелями получаются разными и обусловлены положением точки зрения на линии основного диаметра.

На поперечных и косых перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются в виде эллипсов, гипербол, окружностей, парабол или прямых линий.

Из особенностей, свойственных перспективным проекциям, следует отметить, что на стереографической проекции любой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде окружности; на центральной проекции всякий большой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде прямой линии, в связи с чем в некоторых частных случаях эту проекцию представляется целесообразным применять в навигации.

Условные проекции. К этой категории относятся все проекции, которые по способу построения нельзя отнести ни к одному из перечисленных выше видов проекций.

Они обычно удовлетворяют каким-нибудь заранее поставленным условиям, в зависимости от тех целей, для которых требуется карта. Число условных проекций не ограничено.

Небольшие участки земной поверхности до 85 км можно изобразить на плоскости с сохранением на них подобия нанесенных фигур и площадей.

Такие плоские изображения небольших участков земной поверхности, на которых искажениями практически можно пренебрегать, называются планами.

Планы обычно составляют без всяких проекций путем непосредственной съемки и на них наносят все подробности снимаемого участка.

Наряду с обычной радиолюбители используют карты с азимутальной проекцией, при которой на плоскость проектируется поверхность материка. Точкой нулевого искажения является точка касания плоскости к земной поверхности, максимальное искажение имеют периферийные части карты.

Параллели в прямых азимутальный проекциях (точка соприкосновения - полюса) изображаются концентрическими кругами, а меридианы - прямыми (лучами). В поперечно-азимутальной проекции (точка соприкосновения - на экваторе) составлена карта полушарий, в которой меридианам и параллелям соответствуют кривые, за исключением экватора и средних меридианов полушарий.

Для изображения отдельных материков точки соприкосновения выбирают в их центре (карты Африки, Австралии и Америки).

§ 17. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

В современных условиях картографические проекции строятся также с помощью математических расчетов без вспомогательных поверхностей; их называют условными проекциями

Создать хорошую цветную азимутальную карту от NS6T для вашего QTH можно зайдя на сайт по ссылке ниже.

Просто введите свой локатор и в формате PDF будете её иметь

Зайти на сайт

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости , не могут оставлять комментарии в данной новости.

Оказывается привычная карта мира это всего лишь одна из немногих проекций земного шара на плоскость карты.

Проекция Меркатора - одна из основных картографических проекций.

Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атлас» 450 лет назад.

Проекция Меркатора висит на стене в классе географии, ее используют Google Maps и другие картографические сервисы. Люди смотрят на карту в проекции Меркатора и теряют связь с реальностью. Они считают, что крохотная Гренландия - это настоящий ледяной материк, размером с Австралию, а Северная Америка больше Африки и т.

Классификации картографических проекций

Спросите всех своих знакомых, какой материк по размеру на втором месте? Почти всегда, ей оказывается Северная Америка.

Такая проекция льстит приполярным государствам, потому что размеры стран в этой проекции потрясающие - Африка оказывается на территориальном отшибе.

В географическом смысле реальный мир выглядит иначе. Не в популярной и в значительной мере иллюзорной проекции Меркатора, а в реальных пропорциях.

Проекция Галла-Петерса

В проекции Галла-Петерса площади всех стран указаны в одном масштабе.

Именно по этой карте следует сравнить площади государств или материков друг с другом. На этой карте Россия не выглядит привычным гигантом, а занимает полосу на вдоль северного полюса.

Теперь все встало на свои места Гренландия в 3 раза меньше Австралии.

Студия Артемия Лебедева сделала в рамках проекта Суша сайт и плакат. На сайте можно сравнить площади разных стран. Советую посмотреть процесс создания инфографики.

Для выбора наиболее выгодного пути при переходе судна из одного пункта в другой судоводитель пользуется картой.

Картой называют уменьшенное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное по определенному способу.

Так как Земля имеет сферическую форму, ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений. Если разрезать любую сферическую поверхность на части (по меридианам) и наложить эти части на плоскость, то изображение этой поверхности на ней получилось бы искаженной и с разрывами. В экваториальной части были бы складки, а у полюсов - разрывы.

Для решения навигационных задач пользуются искаженными, плоскими изображениями земной поверхности - картами, в которых искажения обусловлены и соответствуют определенным математическим законам.

Математически определенные условные способы изображения на плоскости всей поверхности шара или его части или эллипсоида вращения с малым сжатием называются картографической проекцией, а принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей - картографической сеткой.

Все существующие картографические проекции могут быть подразделены на классы по двум признакам: по характеру искажений и по способу построения картографической сетки.

По характеру искажений проекции разделяются на равноугольные (или конформные), равновеликие (или эквивалентные) и произвольные.

Равноугольные проекции. На этих проекциях углы не искажаются, т. е. углы на местности между какими-либо направлениями равны углам на карте между теми же направлениями. Бесконечно малые фигуры на карте в силу свойства равноугольности будут подобны тем же фигурам на Земле. Если остров круглой формы в природе, то и на кар- те в равноугольной проекции он изобразится кружком некоторого радиуса. Но линейные же размеры на картах этой проекции будут искажены.

Равновеликие проекции. На этих проекциях сохраняется пропорциональность площадей фигур, т. е. если площадь какого-либо участка на Земле в два раза больше другого, то на проекции изображение первого участка по площади тоже будет в два раза больше изображения второго. Однако в равновеликой проекции не сохраняется подобие фигур. Остров круглой формы будет изображен на проекции в виде равновеликого ему эллипса.

Произвольные проекции. Эти проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни равенства площадей, но могут иметь какие-нибудь другие специальные свойства, необходимые для решения на них определенных практических задач. Наибольшее применение в судовождении из карт произвольных проекций получили ортодромические, на которых ортодромии (большие круги шара) изображаются прямыми линиями, а это очень важно при использовании некоторых радионавигационных систем при плавании по дуге большого круга.

Картографическая сетка для каждого класса проекций, в которой изображение меридианов и параллелей имеет наиболее простой вид, называется нормальной сеткой.

По способу построения картографической сетки все проекции делятся на конические, цилиндрические, азимутальные, условные и др.

Конические проекции. Проектирование координатных линий Земли производят по какому-либо из законов на внутреннюю поверхность описанного или секущего конуса, а затем, разрезав конус по образующей, разворачивают его на плоскость.

Для получения нормальной прямой конической сетки делают так, чтобы ось конуса совпадала с земной осью PNР S. В этом случае меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, а параллели - дугами концентрических окружностей. Если ось конуса располагают под углом к земной оси, то такие сетки называют косыми коническими.

В зависимости от закона, выбранного для построения параллелей, конические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Конические проекции применяются для географических карт.

Цилиндрические проекции. Картографическую нормальную сетку получают путем проектирования координатных линий Земли по какому-либо закону на боковую поверхность касательного или секущего цилиндра, ось которого совпадает с осью Земли и последующей развертки по образующей на плоскость.

В прямой нормальной проекции сетка получается из взаимно перпендикулярных прямых линий меридианов Л, В, С, D, F, G и параллелей аа",bb",сс При этом без больших искажений будут изображены участки поверхности экваториальных районов (см, окружность К и ее проекцию К на рис. 34), но участки полярных районов в этом случае не могут быть спроектированы.

Если повернуть цилиндр так, чтобы ось его расположилась в плоскости экватора, а поверхность его касалась полюсов, то получается поперечная цилиндрическая проекция (например, поперечная цилиндрическая проекция Гаусса). Если цилиндр поставить под другим углом к оси Земли, то получаются косые картографические сетки. На этих сетках меридианы и параллели изображаются кривыми линиями.

Азимутальные проекции. Нормальную картографическую сетку получают проектированием координатных линий Земли на так называемую картинную плоскость Q - касательную к полюсу Земли. Меридианы нормальной сетки на проекции имеют вид радиальных прямых, исходящих из. центральной точки проекции P N под угла- ми, равными соответствующим углам в натуре, а параллели - концентрическими окружностями с центром в полюсе. Картинную плоскость можно располагать в любой точке земной поверхности, и точку касания называют центральной точкой проекции и принимают за зенит.

Все картографические проекции классифицируются по ряду признаков, в том числе, по характеру искажений, виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки, положению полюса нормальной системы координат.

1. Классификация картографических проекций

по характеру искажений:

а) равноугольные, или конформные оставляют без искажений углы и форму контуров, но имеют значительные искажения площадей. Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются. Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту , поэтомy их всегда используют на навигационных картах.,

Эти проекции могут быть описаны уравнениями в характеристиках вида:

m=n=a=b=m

q=90 0 w=0 m=n

Рис. Искажения в равноугольной проекции. Карта мира в проекции Меркатора

б) равновеликие, или эквивалентные - сохраняют площади без искажений, однако на них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно на больших территориях. Например, на карте мира приполярные области выглядят сильно сплющенными. Эти проекции могут быть описаны уравнениями вида Р = 1.

Рис. Искажения в равновеликой проекции. Карта мира в проекции Меркатора

в) равнопромежуточные (эквидистантные).

В этих проекциях линейный масштаб по одному из главных направлений постоянен и обычно равен главному масштабу карты, т. е. имеет место

либо а = 1, либо b = 1;

г) произвольные.

Не сохраняют ни углов, ни площадей.

2. Классификация картографических проекций по способу построения

Вспомогательными поверхностями при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и некоторые другие геометрические фигуры.

1) Цилиндрические проекции — проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость.

В этих проекциях параллели нормальных сеток есть прямые параллельные линии, меридианы - также прямые линии, ортогональные к параллелям. Расстояния между меридианами равны и всегда пропорциональны разности долгот

Рис. Вид картографической сетки цилиндрической проекции

Условные проекции — проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др., полученные путем преобразования одной или нескольких сходных проекций.

Псевдоцилиндрические проекции : параллели изображаются прямыми параллельными линиями, меридианы - кривыми линиями, симметричными относительно среднего прямолинейного меридиана, который всегда ортогонален параллелям (применяют для карт мира и Тихого океана).

Рис. Вид картографической сетки псевдоцилиндрической проекции

Полагаем, что географический полюс совпадает с полюсом нормальной системы координат

а) Нормальная (прямая) цилиндрическая - если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по па-раллелям). Тогда меридианы нормальной сетки предстают в виде равноотстоящих параллельных прямых, а параллели — в виде пря-мых, перпендикулярных к ним. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях.

б) поперечная цилиндрическая проекция - ось цилиндра расположена в плоскости экватора. Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вытянутые с севера на юг.

в) косая цилиндрическая - ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости экватора. Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.

2) Конические проекции — поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхность касательного или секущего конуса, после чего она как бы разрезается по образующей и разворачивается в плоскость.

Различают :

· нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпа-дает с осью вращения Земли. Меридианы представляют собой прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели — дуги концентрических окружностей. Воображаемый конус каса-ется земного шара или сечет его в районе средних широт, поэто-му в такой проекции удобнее всего картографировать территории России, Канады, США, вытянутые с запада на восток в средних широтах.

· поперечную коническую — ось конуса нежит в плоскости экватора

· косую коническую — ось конуса на-клонена к плоскости экватора.

Псевдоконические проекции — такие, в которых все параллели изображаются дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан — прямая линия, а остальные меридианы — кривые, причем кривизна их возрастает с удалением от среднего меридиана. Применяются для карт России, Евразии, других материков.

Поликонические проекции — проекции, получаемые в результа-те проектирования шара (эллипсоида) на множество конусов. В нормальных поликонических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы — кривые, симметричные относительно прямого среднего меридиана. Чаще всего эти проекции применяются для карт мира.

3) Азимутальные проекции — поверхность земного шара (эллип-соида) переносится на касательную или секущую плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция. В этих проекциях параллели изображаются одноцентровыми окружностями, меридианы - пучком прямых линий с точкой схода, совпадающей с центром параллелей. В этой проекции всегда кар-тографируют полярные области нашей и других планет.

а — нормальная или полярная проекция на плоскость; в — сетка в поперечной (экваториальной) проекции;

г — сетка в косой азимутальной проекции.

Рис. Вид картографической сетки азимутальной проекции

Если плоскость проекции перпендикулярна к плоскости эква-тора, то получается поперечная (экваториальная) азимутальная проекция. Она всегда используется для карт полушарий. А если проектирование выполнено на касательную или секущую вспомогательную плоскость, находящуюся под любым углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция.

Среди азимутальных проекций выделяют несколько их разно-видностей, различающихся по положению точки, из которой ве-дется проектирование шара на плоскость.

Псевдоазимутальные проекции — видоизмененные азимуталь-ные проекции. В полярных псевдоазимутальных проекциях парал-лели представляют собой концентрические окружности, а мери-дианы — кривые линии, симметричные относительно одного или двух прямых меридианов. Поперечные и косые псевдоазимуталь-ные проекции имеют общую овальную форму и обычно применя-ются для карт Атлантического океана или Атлантического океана вместе с Северным Ледовитым.

4) Многогранные проекции — проекции, получаемые путем про-ектирования шара (эллипсоида) на поверхность касательного или секущего многогранника. Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию.

3) Классификация картографических проекций по положению полюса нормальной системы координат

В зависимости от положения полюса нормальной системы Р о , все проекции подразделяются на следующие:

а) прямые или нормальные - полюс нормальной системы Р о совпадает с географическим полюсом (φ о = 90°);

б) поперечные или экваториальные - полюс нормальной системы Р о лежит на поверхности в плоскости экватора (φ о = 0°);

в) косые или горизонтальные - полюс нормальной системы Р о располагается между географическим полюсом и экватором (0° < φ о <90°).

В прямых проекциях основная и нормальная сетки совпадают. В косых и поперечных проекциях такого совпадения нет.

Рис. 7. Положение полюса нормальной системы (Р о) в косой картографической проекции