Кое-кто из читателей, знакомых с характером прежнего преподавания логики в школе, возможно, поставит под сомнение целесообразность занимательной логики. Однако читатель, наверное, согласится с тем, что мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Особенно в наше время, постоянно приносящее множество необыкновенных и удивительных открытий и изобретений в разнообразных областях: в географии, политике, в общественной жизни.

Автоматический сортировщик топлива.
На склад, имеющий два помещения для хранения больших количеств двух видов топлива - угля и кокса, каждого отдельно, поступают грузовики, каждый всякий раз с одним из этих видов топлива. К механизму, открывающему шахты, предъявляется требование, чтобы он открыл шахту в помещение для угля, если прибывает грузовик с этим топливом, и шахту в помещение для кокса, если прибывает грузовик с коксом. Для обеспечения хорошей сортировки топлива было предъявлено дополнительное требование: всякий раз в помещение склада впускается только один грузовик и открывается лишь одна шахта.

Спрашивается, имеет ли этот механизм также следующее свойство: если не въехал в помещение склада грузовик с углем, то шахта для угля не откроется, а если не въехал грузовик с коксом, то не откроется шахта для кокса.

Примечание. Эту задачу можно решить и без средств логики высказываний, простым рассуждением. Более трудным, а возможно, и умозрительно неосуществимым окажется решение в случае, когда количество видов топлива превышает два и когда на склад может одновременно въезжать несколько грузовиков. Пусть читатель попытается решить эту задачу также для трех видов топлива.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Занимательная логика, Кольман Э., Зих О., 1966 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Математика и Конструирование, 1 класс, Учебное пособие для общеобразовательных организаций, Волкова С.И., 2016
• Математика, Устные упражнения, 1 класс, Учебное пособие для общеобразовательных организаций, Волкова С.И., 2016
• Курс лекций по теории и технологии обучения математике в начальных классах, Часть 2, Ручкина В.П., 2019

Следующие учебники и книги:

• Математика, Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И., 2014

Слова Шерлока Холмса: «Сколько раз я говорил вам, отбросьте все невозможное, тогда то, что останется, и будет ответом, каким бы невероятным он ни казался», - могли бы послужить эпиграфом к этой главе.

Если для решения головоломки требуется лишь умение логически мыслить и совсем не нужно производить арифметические выкладки, то такую головоломку обычно называют логической задачей. Логические задачи, разумеется, относятся к числу математических, поскольку логику можно рассматривать как очень общую, фундаментальную математику. Все же логические головоломки удобно выделить и изучать отдельно от их более многочисленных арифметических сестер. В этой главе мы рассмотрим в общих чертах три широко распространенных типа логических задач и постараемся выяснить, как следует подходить к их решению.

Чаще всего встречается тип задачи, который любители головоломок иногда называют «задачей о Смите - Джонсе - Робинсоне» (по аналогии со старой головоломкой, придуманной Г. Дьюдени).

Она состоит из серии посылок, обычно сообщающих те или иные сведения о действующих лицах; на основании этих посылок требуется сделать определенные выводы. Вот, например, как выглядит последняя американская версия задачи Дьюдени:

1. Смит, Джонс и Робинсон работают в одной поездной бригаде машинистом, кондуктором и кочегаром. Профессии их названы не обязательно в том же порядке, что и фамилии. В поезде, который обслуживает бригада, едут трое пассажиров с теми же фамилиями.

В дальнейшем каждого пассажира мы будем почтительно называть «мистер» (м-р).

2. М-р Робинсон живет в Лос-Анджелесе.

3. Кондуктор живет в Омахе.

4. М-р Джонс давно позабыл всю алгебру, которой его учили в колледже.

5. Пассажир - однофамилец кондуктора живет в Чикаго.

6. Кондуктор и один из пассажиров, известный специалист по математической физике, ходят в одну церковь.

7. Смит всегда выигрывает у кочегара, когда им случается встречаться за партией в бильярд.

Как фамилия машиниста?

Данные задачи можно было бы перевести на язык математической логики, воспользовавшись ее стандартными обозначениями, и искать решение с помощью соответствующих методов, однако такой подход был бы слишком громоздким. С другой стороны, без сокращенных обозначений того или иного рода трудно понять логическую структуру задачи. Удобнее всего воспользоваться таблицей, в пустые клетки которой мы будем вписывать всевозможные комбинации элементов рассматриваемых множеств. В нашем случае таких множеств два, поэтому нам понадобятся две таблицы (рис. 139).

Рис. 139 Две таблицы к задаче о Смите, Джонсе и Робинсоне.

В каждую клетку впишем 1, если соответствующая комбинация допустима, или 0, если комбинация противоречит условиям задачи. Посмотрим, как это делается. Условие 7, очевидно, исключает возможность того, что Смит кочегар, поэтому в клетку, стоящую в правом верхнем углу левой таблицы, мы вписываем 0. Условие 2 сообщает нам, что Робинсон живет в Лос-Анджелесе, поэтому в левый нижний угол таблицы мы вписываем 1, а во все остальные клетки нижней строки и левого столбца - 0, чтобы показать, что м-р Робинсон не живет в Омахе или в Чикаго, а м-р Смит и м-р Джонс не живут в Лос-Анджелесе.

Теперь нам придется немного подумать. Из условий 3 и 6 известно, что специалист по математической физике живет в Омахе, но мы не знаем его фамилии. Он не может быть ни м-ром Робинсоном, ни м-ром Джонсом (ведь тот забыл даже элементарную алгебру).

Следовательно, им должен быть м-р Смит. Это обстоятельство мы отметим, поставив 1 в среднюю клетку верхней строки правой таблицы и 0 - в остальные клетки той же строки и пустые клетки среднего столбца. Третью единицу можно вписать теперь только в одну клетку: это доказывает, что м-р Джонс живет в Чикаго. Из условия 5 мы узнаем, что кондуктор тоже носит фамилию Джонс, и вписываем 1 в центральную клетку левой таблицы и 0 -во все остальные клетки средней строки и среднего столбца. После этого наши таблицы приобретают вид, показанный на рис. 140.

Рис. 140 Таблицы, изображенные на рис. 139, после предварительного заполнения.

Теперь уже нетрудно продолжить рассуждения, приводящие к окончательному ответу. В столбце с надписью «Кочегар» единицу можно поставить только в нижней клетке. Отсюда сразу следует, что в левом нижнем углу должен стоять 0. Пустой остается лишь клетка в левом верхнем углу таблицы, куда можно поставить только 1. Итак, фамилия машиниста Смит.

Чрезвычайно сложные и хитроумные задачи такого рода любил изобретать Льюис Кэрролл. Декан математического факультета Дортмутского колледжа Джон Дж. Кемени запрограммировал одну из чудовищных (с 13 переменными и 12 условиями, из которых следует, что «ни один судья не нюхает табак») кэрролловских задач для компьютера IBM-704. Машина справилась с решением примерно за 4 минуты, хотя распечатка полной «таблицы истинности» задачи (таблицы, показывающей, истинны или ложны возможные комбинации значений истинности переменных задачи) заняла бы 13 часов!

Читателям, которые хотят попытать счастья в решении более сложной задачи, чем задача о Смите-Джонсе - Робинсоне, предлагаем новую головоломку. Ее автор Р. Смаллиан из Принстонского университета.

1. В 1918 году закончилась первая мировая война. В день подписания мирного договора три супружеские пары собрались, чтобы отпраздновать это событие за праздничным столом.

2. Каждый муж доводился братом одной из жен, а каждая жена была сестрой одного из мужей, то есть среди присутствующих можно было указать три родственные пары «брат с сестрой».

3. Элен ровно на 26 недель старше своего мужа, который родился в августе.

4. Сестра м-ра Уайта замужем за свояком брата Элен и вышла за него замуж в день своего рождения, в январе.

5. Маргарет Уайт ростом ниже Уилльяма Блейка.

6. Сестра Артура красивее, чем Беатрис.

7. Джону исполнилось 50 лет.

Как зовут миссис Браун?

Не менее распространена и другая разновидность логических задач, которые по аналогии со следующим хорошо известным примером можно назвать задачами типа «задачи о разноцветных колпаках». Троим людям (назовем их А, В и С ) завязывают глаза и говорят, что каждому из них на голову надели либо красный, либо зеленый колпак. Затем глаза им развязывают и просят поднять руку, если они видят красный колпак, и выйти из комнаты, если они уверены в том, что знают, какого цвета колпак у них на голове. Все три колпака оказались красными, поэтому все трое подняли руку. Прошло несколько минут, и С , который отличается большей сообразительностью, чем А и В , вышел из комнаты. Каким образом С смог установить, какого цвета колпак на нем?

[Задача о мудрецах в зеленых колпаках сформулирована в тексте так, что она не может иметь решения. Это особенно хорошо видно, когда число мудрецов велико. Сколько времени понадобится первому мудрецу, чтобы догадаться об истинной ситуации?

В конце сороковых годов эта задача усиленно обсуждалась в Москве в школьных математических кружках, и был придуман новый ее вариант, в котором введено дискретное время. Задача эта выглядела так.

В древние времена в одном городе жили мудрецы. У каждого из них была жена. По утрам они приходили на базар и узнавали там все городские сплетни. Они и сами были сплетниками. Им доставляло большое удовольствие узнать о неверности какой-либо из жен - узнавали они об этом тотчас. Однако одно негласное правило соблюдалось неукоснительно: мужу о его жене никогда ничего не сообщалось, так как каждый из них, узнав о собственном позоре, выгнал бы свою жену из дому. Так они и жили, получая удовольствие от задушевных бесед и оставаясь в полном неведении относительно собственных дел.

Но однажды в город приехал настоящий сплетник. Он явился на базар и во всеуслышание заявил: «А не у всех-то мудрецов жены верные!» Казалось бы, сплетник ничего нового не сказал - и так это все знали, знал это и каждый мудрец (только с ехидством думал не о себе, а о другом), поэтому никто из жителей и не обратил внимания на слова сплетника. Но мудрецы задумались - на то они и мудрецы - и на n -й день после приезда сплетника п мудрецов выгнали п неверных жен (если их всего было n ).

Рассуждения мудрецов восстановить нетрудно. Труднее ответить на вопрос: какую же информацию добавил сплетник к той, которая была известна мудрецам и без него?

Эта задача неоднократно встречалась в литературе].

С спрашивает себя, может ли его колпак быть зеленым. Если бы это было так, то А сразу же узнал бы, что на нем красный колпак, потому что только красный колпак на его голове мог бы заставить В поднять руку. Но тогда А вышел бы из комнаты. В стал бы рассуждать точно так же и тоже вышел бы из комнаты. Поскольку ни тот, ни другой не вышли, С заключил, что его собственный колпак должен быть красным.

Эта задача допускает обобщение на случай, когда имеется любое число людей и на всех на них надеты красные колпаки. Предположим, что в задаче появилось четвертое действующее лицо D , еще более проницательное, чем С. D мог бы рассуждать так: «Если бы мой колпак был зеленым, то А, В и С оказались бы точно в такой же ситуации, какая только что была описана, и через несколько минут самый догадливый из трио непременно вышел бы из комнаты.

Но прошло уже пять минут, а никто из них не выходит, следовательно, мой колпак красный».

Если бы появился пятый участник, еще более сообразительный, чем D , то он смог бы прийти к заключению, что на нем красный колпак, выждав минут десять. Разумеется, наши рассуждения теряют в убедительности из-за предположений о различной степени сообразительности А, В, С … и довольно смутных соображений относительно того, сколько времени должен выжидать наиболее догадливый человек, прежде чем он сможет с уверенностью назвать цвет своего колпака.

Некоторые другие задачи «о цветных колпаках» содержат меньшую неопределенность. Такова, например, следующая задача, также придуманная Смаллианом. Каждый из троих - А, В и С - в совершенстве владеет логикой, то есть умеет мгновенно извлекать все следствия из данного набора посылок и знает, что остальные также обладают этой способностью.

Берем четыре красные и четыре зеленые марки, завязываем нашим «логикам» глаза и каждому из них наклеиваем на лоб по две марки. Затем снимаем с их глаз повязки и по очереди задаем А, В и С один и тот же вопрос: «Знаете ли вы, какого цвета марки у вас на лбу?» Каждый из них отвечает отрицательно. Затем мы спрашиваем еще раз у А и снова получаем отрицательный ответ. Но когда мы вторично задаем тот же вопрос В , тот отвечает утвердительно.

Какого цвета марки на лбу у В ?

Третью разновидность популярных логических головоломок составляют задачи о лжецах и тех, кто всегда говорит правду. В классическом варианте задачи речь идет о путешественнике, попавшем в страну, населенную двумя племенами. Члены одного племени всегда лгут, члены другого говорят только правду. Путешественник встречает двух туземцев. «Вы всегда говорите только правду?» - спрашивает он высокого туземца. Тот отвечает: «Тарабара». «Он сказал «да», - поясняет туземец поменьше ростом, знающий английский язык, - но он ужасный лжец». К какому племени принадлежит каждый из туземцев?

Систематический подход к решению заключался бы в выписывании всех четырех возможностей: ИИ, ИЛ, ЛИ, ЛЛ (И означает «истина», Л- «ложь») - и исключении тех из них, которые противоречат данным задачи. Ответ можно получить гораздо быстрее, если заметить, что высокий туземец должен ответить утвердительно независимо от того, лжет ли он или говорит правду. Поскольку туземец поменьше ростом сказал правду, он должен принадлежать к племени правдивых, а его высокий приятель - к племени лжецов.

Самую знаменитую задачу этого типа, усложненную введением вероятностных весов и не очень ясной формулировкой, можно найти довольно неожиданно в середине шестой главы книги английского астронома А. Эддингтона «New Pathways in Science ». «Если А, В, С и D говорят правду в одном случае из трех (независимо друг от друга) и А утверждает, что В отрицает, что С говорит, будто D лжец, то какова вероятность того, что D сказал правду?»

Ответ Эддингтона, 25/71 был встречен градом протестов со стороны читателей и породил смешной и путаный спор, который так и не был разрешен окончательно. Английский астроном Г. Дингл, автор рецензии на книгу Эддингтона, опубликованной в журнале Nature (March 1935), считал, что задача вообще не заслуживает внимания как бессмысленная и свидетельствует лишь о том, что Эддингтон недостаточно продумал основные идеи теории вероятностей. Американский физик Т. Стерн (Nature, June 1935) возразил на это, заявив, что, по его мнению, задача отнюдь не бессмысленна, но данных для ее решения недостаточно.

В ответ Дингл заметил (Nature, September 1935), что если встать на точку зрения Стерна, то данных для решения вполне достаточно и ответ будет 1/3. Тут в драку вступил Эддингтон, опубликовав (Mathemetical gazette, October 1935) статью с подробным объяснением того, как он получил свой ответ. Спор завершился еще двумя статьями, появившимися в том же журнале, автор одной из них выступил в защиту Эддингтона, а в другой выдвигалась точка зрения, отличная от всех прежних.

Трудность кроется главным образом в понимании эддингтоновской формулировки. Если В , высказывая свое отрицание, говорит правду, то можем ли мы с достаточным основанием предполагать, что С сказал, что D изрек истину? Эддингтон считал, что оснований для такого предположения недостаточно. Точно так же если А лжет, то можем ли мы быть уверенными в том, что В и С вообще что-либо сказали? К счастью, мы можем обойти все эти языковые трудности, приняв следующие допущения (Эддингтон их не делал):

1. Никто из четверых не промолчал.

2. Высказывания А, В и С (каждого из них в отдельности) либо подтверждают, либо отрицают следующее за ним высказывание.

3. Ложное утверждение совпадает со своим отрицанием, а ложное отрицание совпадает с утверждением.

Все четверо лгут независимо друг от друга с вероятностью 1/3, то есть в среднем любые два из трех их высказываний ложны. Если правдивое высказывание обозначить буквой И , а ложное - буквой Л , то для А, В, С и D мы получим таблицу, состоящую из восьмидесяти одной различной комбинации. Из этого числа следует исключить те комбинации, которые невозможны в силу условий задачи.

Число допустимых комбинаций, оканчивающихся буквой И (то есть правдивым - истинным - высказыванием D ), следует разделить на общее число всех допустимых комбинаций, что и даст ответ.

Формулировку задачи о путешественнике и двух туземцах следовало бы уточнить. Путешественник понял, что слово «тарабара» на языке туземцев означает то ли «да», то ли «нет», но не смог догадаться, что именно. Это позволило бы предупредить несколько писем, одно из которых я привожу ниже.

Высокий туземец, по-видимому, не понял ни слова из того, что ему сказал (на английском языке) путешественник, и не мог ответить «да» или «нет» по-английски. Поэтому его «тарабара» означает нечто вроде: «Я не понимаю» или «Добро пожаловать в Бонго-Бонго». Следовательно, маленький туземец лгал, говоря, будто его приятель ответил «да», а поскольку маленький был лжецом, то он лгал и тогда, когда назвал лжецом высокого туземца. Поэтому правдивым следует считать высокого туземца.

Так женская логика нанесла удар моему мужскому тщеславию. Не задевает ли она немножко и ваше авторское самолюбие?

Ответы

Первую логическую задачу лучше всего решать с помощью трех таблиц: одной - для комбинаций имен и фамилий жен, второй - для имен и фамилий мужей и третьей - для родственных связей.

Поскольку миссис Уайт зовут Маргарет (условие 5), для имен двух других жен у нас остаются только две возможности: а) Элен Блейк и Беатрис Браун или б) Элен Браун и Беатрис Блейк.

Допустим, что имеет место вторая из возможностей. Сестрой Уайта должна быть либо Элен, либо Беатрис. Но Беатрис не может быть сестрой Уайна, потому что тогда братом Элен был бы Блейк, а двумя деверями Блейк оказались бы Уайт (брат его жены) и Браун (муж его сестры); Беатрис же Блейк не состоит в браке ни с одним из них, что противоречит условию 4. Следовательно, сестрой Уайта должна быть Элен. Отсюда в свою очередь мы заключаем, что сестру Брауна зовут Беатрис, а сестру Блейка - Маргарет.

Из условия 6 следует, что мистера Уайта зовут Артур (Браун не может быть Артуром, так как подобная комбинация означала бы, что Беатрис красивее самой себя, а Блейк не может быть Артуром, поскольку из условия 5 нам известно его имя: Уильям). Итак, мистер Браун может быть только Джоном. К сожалению, из условия 7 мы видим, что Джон родился в 1868 году (за 50 лет до подписания мирного договора). Но 1868 год - високосный, поэтому Элен должна быть старше своего мужа на один день больше тех 26 недель, о которых говорится в условии 3. (Из условия 4 мы знаем, что она родилась в январе, а из условия 3 - что ее муж родился в августе. Она могла бы быть ровно на 26 недель старше своего мужа, если бы ее день рождения приходился на 31 января, а его - на 1 августа и если бы между этими датами не было 29 февраля!) Итак, вторую из возможностей, с которой мы начали, следует отбросить, что позволяет нам назвать имена жен: Маргарет Уайт, Элен Блейк и Беатрис Браун. Никакого противоречия здесь нет, поскольку мы не знаем года рождения Блейка. Из условий задачи можно заключить, что Маргарет - сестра Брауна, Беатрис - сестра Блейка, а Элен - сестра Уайта, но вопрос о том, как зовут Уайта и Брауна, остается нерешенным.

В задаче с марками у В имеются три возможности. Его марки могут быть: 1) обе красными; 2) обе зелеными; 3) одна зеленой, а другая красной. Предположим, что обе марки красные.

После того как все трое ответили по одному разу, А может рассуждать так: «Марки у меня на лбу не могут быть обе красными (потому что тогда С увидел бы четыре красные марки и сразу узнал бы, что у него на лбу две зеленые марки, а если бы у С обе марки были зелеными, то В , увидев четыре зеленые марки, понял бы, что у него на лбу две красные марки). Поэтому у меня на лбу одна зеленая и одна красная марки».

Но когда А спросили второй раз, он не знал, какого цвета его марки. Это позволило В отбросить возможность того, что обе его собственные марки красные. Рассуждая точно так же, как и А, В исключил случай, когда обе его марки зеленые. Следовательно, у него осталась единственная возможность: одна марка зеленая, другая красная.

Несколько читателей быстро заметили, что задачу можно решить очень быстро, не занимаясь анализом вопросов и ответов. Вот что написал по этому поводу один из читателей: «Условия задачи полностью симметричны относительно красных и зеленых марок.

Поэтому, распределив марки между А, В и С с соблюдением всех условий задачи и заменив красные марки зелеными и, наоборот, зеленые красными, мы придем к иному распределению, для которого все условия также будут выполнены. Отсюда следует, что если решение единственно, то оно должно быть инвариантным (не должно меняться) при замене зеленых марок на красные, а красных на зеленые. Таким решением может быть только такое распределение марок, при котором у В окажется одна зеленая и одна красная марка».

Как выразился декан математического факультета Бруклинского колледжа У. Манхеймер, это изящное решение исходит из того обстоятельства, что в совершенстве владеют логикой не А, В и С (как о том сказано в условии задачи), а Рэймонд Смаллиан!

В задаче Эддингтона вероятность того, что D говорит правду, составляет 13/41. Все комбинации истины и лжи, которые содержат нечетное число раз ложь (или истину), следует отбросить как противоречащие условиям задачи. В результате число возможных комбинаций понижается с 81 до 41, из них только 13 заканчиваются правдивым высказыванием D . Поскольку А, В и С говорят правду в случаях, которые отвечают точно такому же числу допустимых комбинаций, вероятность сказать правду у всех четырех одинакова.

Используя символ эквивалентности

означающий, что соединенные им высказывания либо оба истинны, либо оба ложны (тогда ложное высказывание истинно, в противном случае оно ложно), и символ отрицания ~, задачу Эддингтона на языке исчисления высказываний можно записать так:

или после некоторых упрощений так:

Таблица истинности этого выражения подтверждает уже полученный ответ.

Примечания:

То frustrate - расстраивать, делать что-либо тщетным, безнадежным, обрекать на неудачу (англ.).

См. главу, посвященную Рэймонду Смаллиану в книге М. Гарднера «Путешествие во времени» (М.: Мир, 1990).

Eddington A . New Pathways in Science. - Cambridge: 1935; Michigan: 1959.

Логические задачи , так же как и математику, называют «гимнастикой ума». Но, в отличие от математики, задачи на логику - это занимательная гимнастика, которая в увлекательной форме позволяет испытывать и тренировать мыслительные процессы, иногда в неожиданном ракурсе. Для их решения нужна сообразительность, иногда интуиция, но не специальные знания. Решение задач на логику состоит в том, чтобы досконально разобрать условие задачи, распутать клубок противоречивых связей между персонажами или объектами. Логические задачи для детей – это, как правило, целые истории с популярными действующими лицами, в которые нужно просто вжиться, почувствовать ситуацию, наглядно ее представить и уловить связи.

Даже самые сложные задачи на логику не содержат чисел, векторов, функций. Но математический способ мышления здесь необходим: главное, осмыслить и понять условие логической задачи . Не всегда самое очевидное решение, лежащее на поверхности, является правильным. Но чаще всего, решение задачи на логику оказывается гораздо проще, чем кажется на первый взгляд, несмотря на путаное условие.

Интересные задачи на логику для детей по самым разным предметам - математике, физике, биологии - вызывают у них повышенный интерес к этим учебным дисциплинам и помогают в их осмысленном изучении. Логические задачи на взвешивание, переливание, задачи на нестандартное логическое мышление помогут и в повседневной жизни решать житейские проблемы нестандартным образом.

В процессе решения задач на логику вы познакомитесь с математической логикой - отдельной наукой, именуемой по-другому «математикой без формул». Логика как наука была создана Аристотелем, который был не математиком, а философом. И логика первоначально была частью философии, одним из методов рассуждений. В труде «Аналитики» Аристотель создал 20 схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Одним из самых известных его силлогизмов является: «Сократ - человек; все люди смертны; значит Сократ смертен». Логика (с др.-греч. Λογική - речь, рассуждение, мысль) - это наука о правильном мышлении, или, иными словами, «искусство рассуждения».

Существуют определенные приемы решения логических задач :

способ рассуждений , с помощью которого решаются самые простые логические задачи. Этот метод считается самым тривиальным. В ходе решения используются рассуждения, последовательно учитывающие все условия задачи, которые постепенно приводят к выводу и правильному ответу.

способ таблиц, применяемый при решении текстовых логических задач. Как следует из названия, решение логических задач заключается в построении таблиц, которые позволяют наглядно представить условие задачи, контролировать процесс рассуждений и помогают сделать правильные логические выводы.

способ графов состоит в переборе возможных вариантов развития событий и окончательном выборе единственно верного решения.

способ блок-схем - метод, широко используемый в программировании и решении логических задач на переливание. Он заключается в том, что сначала в виде блоков выделяются операции (команды), затем устанавливается последовательность выполнения этих команд. Это и есть блок-схема, которая по сути является программой, выполнение которой приводит к решению поставленной задачи.

способ бильярда следует из теории траекторий (один из разделов теории вероятности). Для решения задачи необходимо нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями бильярдного шара по разным траекториям. При этом необходимо вести записи возможных результатов в отдельной таблице.

Каждый из этих методов применим к решению логических задач из разных областей. Эти, казалось бы, сложные и научные приемы вполне можно использовать в решении задач на логику для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 классов.

Представляем вам самые разнообразные логические задачи для 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 класса. Мы подобрали для вас наиболее интересные задачи на логику с ответами , которые будут интересны не только детям, но и родителям.

• подбирайте для ребенка задачи на логику в соответствии с его возрастом и развитием
• не торопитесь открыть ответ, позвольте ребенку самому найти решение логической задачи . Пусть он сам дойдет до правильного решения и вы увидите - какое удовольствие и чувство восторга у него возникнет при совпадении его ответа с данным.
• в процессе решения задач на логику допустимы наводящие вопросы и косвенные подсказки, указывающие направление размышления.

С помощью нашей подборки логических задач с ответами вы действительно научитесь решать логические задачи, расширите свой кругозор и значительно разовьете логическое мышление. Дерзайте!!!

Решение логических задач - первый шаг к развитию ребенка.

Э.Давыдова

Логика - это искусство приходить к непредсказуемому выводу.

Сэмюэл Джонсон

Без логики почти невозможно внесение в наш мир гениальных находок интуиции.

Кирилл Фандеев

Человек, рассуждающий логично, приятно выделяется на фоне реального мира.

Американское изречение

Логика - это нравственность мысли и речи.

Ян Лукасевич

Введение

Логика – это Бог мыслящих.

Л. Фейхтвангер

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, планировании экономики и военном деле. И это умение восходит к древнейшем временам, логика, т.е. наука о том, какие формы рассуждений правильны, возникла лишь немногим более двух тысяч лет тому назад. Она была развита в VI в. до н.э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля, его учеников и последователей.

В какой-то момент математики задали вопрос: «В чем, собственно, состоит математика, математическая деятельность?» Простой ответ заключается в том, что математики доказывают теоремы, то есть выясняют некоторые истины о реальном мире и «идеальном математическом мире». Попытка ответить на вопрос что такое математическая теорема, математическая истина и что такое математическое утверждение истинно или доказуемо, это и сеть исходная точка математической логики. Мы должны в школе научиться анализировать, сравнивать, выделять главное, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятии, ставить и решать проблемы. Овладение этими методами и означает умение мыслить. В науке приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, числовые закономерности, правила, доказывать теоремы. Например, в 1781 г. была открыта планета Уран. Наблюдения показали, что движение этой планеты отличается от теоретически вычисленного движения. Французский ученый Леверье (1811-1877гг.), логически рассуждая и выполнив довольно сложные вычисления, определил влияние на Уран другой планеты и указал место ее нахождения. В 1846 г. астроном Галле подтвердил существование планеты, которая была названа Нептун. При этом они использовали логику математических рассуждений и вычислений.

Второй исходной точкой наших рассмотрений является выяснение того, что значит, что математическая функция вычислима и ее можно вычислить с помощью некоторого алгоритма, формального правила, точно описанной процедуры. У этих двух исходных постановок есть много общего, они естественно объединяются под общим названием «математическая логика», где под математической логикой понимается прежде всего логика математических рассуждений и математических действий.

Я выбрала именно эту тему, потому что владение элементами математической логики поможет мне в моей будущей экономической профессии. Ведь маркетолог анализирует тенденции рынка, цены, объём оборота и методы маркетинга, собирает данные о конкурирующих организациях, выдаёт рекомендации. Для этого нужно использовать знание логики.

Цель работы: изучить и использовать возможности математической логики в решении проблем в различных областях и деятельности человека.

Задачи:

1. Проанализировать литературу о сущности и возникновении математической логики.

2. Изучить элементы математической логики.

3. Подобрать и решить задачи с элементами математической логики.

Методы: анализ литературы, понятий, метод аналогий в решении задач, самонаблюдение.

1. Из истории возникновения математической логики

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н. э.), который в своих трактатах обстоятельно исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия и исключения третьего. Вклад Аристотеля в логику весьма велик, недаром другое ее название - аристотелева логика. Еще сам Аристотель заметил, что между созданной им наукой и математикой (тогда она именовалась арифметикой) много общего. Он пытался соединить две эти науки, а именно свести размышление, или, вернее, умозаключение, к вычислению на основании исходных положений. В одном из своих трактатов Аристотель вплотную приблизился к одному из разделов математической логики - теории доказательств.

В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные положения логики и иногда даже намечали контуры современного исчисления высказываний, но ближе всех к созданию математической логики подошел уже во второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), указавший пути для перевода логики «из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно». Лейбниц надеялся даже, что в будущем философы, вместо того чтобы бесплодно спорить, станут брать бумагу и вычислять, кто из них прав. При этом в своих работах Лейбниц затрагивал и двоичную систему счисления. Следует отметить, что идея использования двух символов для кодирования информации очень стара. Австралийские аборигены считали двойками, некоторые племена охотников-сборщиков Новой Гвинеи и Южной Америки тоже пользовались двоичной системой счета. В некоторых африканских племенах передают сообщения с помощью барабанов в виде комбинаций звонких и глухих ударов. Знакомый всем пример двухсимвольного кодирования - азбука Морзе, где буквы алфавита представлены определенными сочетаниями точек и тире. После Лейбница исследования в этой области вели многие выдающиеся ученые, однако настоящий успех пришел здесь к английскому математику-самоучке Джорджу Булю (1815-1864), его целеустремленность не знала границ.

Материальное положение родителей Джорджа (отец которого был сапожным мастером) позволило ему окончить лишь начальную школу для бедняков. Спустя какое-то время Буль, сменив несколько профессий, открыл маленькую школу, где сам преподавал. Он много времени уделял самообразованию и вскоре увлекся идеями символической логики. В 1847 году Буль опубликовал статью «Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений», а в 1854 году появился главный его труд «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей». Буль изобрел своеобразную алгебру - систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому, как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключательных схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным. А еще несколько десятилетий спустя, уже в XX столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера. Отдельные положения работ Буля в той или иной мере затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками. Однако сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем более важнейших ее разделов - алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры высказываний.

Большой вклад в развитие логики внесли и русские ученые П.С. Порецкий (1846-1907), И.И. Жегалкин (1869-1947).

В XX веке огромную роль в развитии математической логики сыграл

Д. Гильберт (1862-1943), предложивший программу формализации математики, связанную с разработкой оснований самой математики. Наконец, в последние десятилетия XX века бурное развитие математической логики было обусловлено развитием теории алгоритмов и алгоритмических языков, теории автоматов, теории графов (С.К. Клини, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новиков и многие другие).

В середине XX века развитие вычислительной техники привело к появлению логических элементов, логических блоков и устройств вычислительной техники, что было связано с дополнительной разработкой таких областей логики, как проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логического моделирования логических устройств и средств вычислительной техники. В 80-х годах XX века начались исследования в области искусственного интеллекта на базе языков и систем логического программирования. Началось и создание экспертных систем с использованием и развитием автоматического доказательства теорем, а также методов доказательного программирования для верификации алгоритмов и программ для ЭВМ. В 80-ые годы начались также изменения в образовании. Появление персональных компьютеров в средних школах привело к созданию учебников информатики с изучением элементов математической логики для объяснения логических принципов работы логических схем и устройств вычислительной техники, а также принципов логического программирования для компьютеров пятого поколения и разработка учебников информатики с изучением языка исчисления предикатов для проектирования баз знаний.

1. Основы теории множеств

Понятие множества - является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать точное определение, используя элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением понятия множества.

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое. Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение множества - «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита, а элементы этих множеств - маленькими буквами латинского алфавита. Множества записываются в фигурных скобках { }.

Принято использовать следующие обозначения:

a ∈ X - «элемент a принадлежит множеству X»;

a ∉ X - «элемент a не принадлежит множеству X»;

∀ - квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не был», «для всех»;

∃ - квантор существования: ∃ y ∈ B - «существует (найдется) элемент y из множества B»;

∃! - квантор существования и единственности: ∃ !b ∈ C - «существует единственный элемент b из множества C»;

: - «такой, что; обладающий свойством»;

→ - символ следствия, означает «влечет за собой»;

⇔ - квантор эквивалентности, равносильности - «тогда и только тогда».

Множества бывают конечные и бесконечные . Множества называются конечным , если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число n, являющееся числом элементов множества. А={a 1 , a 2 ,a 3 , ..., a n }. Множество называется бесконечным , если оно содержит бесконечное число элементов. B={b 1 ,b 2 ,b 3 , ...}. Например, множество букв русского алфавита - конечное множество. Множество натуральных чисел - бесконечное множество.

Число элементов в конечном множестве M называется мощностью множества M и обозначается |M|. Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента - ∅ . Два множества называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Множества не равны X ≠ Y, если в Х есть элементы, не принадлежащие Y, или в Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

Х=Х; - рефлексивность

если Х=Y, Y=X - симметричность

если X=Y,Y=Z, то X=Z - транзитивность.

Согласно такого определения равенства множеств мы естественно получаем, что все пустые множества равны между собой или что то же самое, что существует только одно пустое множество.

Подмножества. Отношение включения.

Множество Х является подмножеством множества Y, если любой элемент множества Х ∈ и множеству Y. Обозначается X ⊆ Y.

Если необходимо подчеркнуть, что Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используют символ строгого включения ⊂ : X ⊂ Y. Связь между символами ⊂ и ⊆ дается выражением:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y и X≠Y

Отметим некоторые свойства подмножества, вытекающие из определения:

X ⊆ Х (рефлексивность);

→ X ⊆ Z (транзитивность);

Исходное множество А по отношению к его подмножествам называется полным множеством и обозначается I.

Любое подмножество А i множества А называется собственным множеством А.

Множество, состоящие из всех подмножеств данного множества Х и пустого множества ∅ , называется булеаном Х и обозначается β(Х). Мощность булеана |β(Х)|=2 n .

Счетное множество - это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в последовательность (м.б. бесконечную) а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n , ... так, чтобы при этом каждый элемент получил ишь один номер n и каждое натуральное число n было бы в качестве номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Пример. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, ..., n 2 представляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Множество является счетным, так как приводится во взаимно однозначные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

Существует 2 основных способа задания множеств.

перечислением (X={a,b}, Y={1}, Z={1,2,...,8}, M={m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

описанием - указывается характерное свойства, которым обладают все элементы множества.

Множество полностью определено своими элементами.

Перечислением можно задать только конечные множества (например, множество месяцев в году). Бесконечные множества можно задать только описанием свойств его элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием Q={n/m, m, n ∈ Z, m≠0}.

Способы задания множества описанием:

а) заданием порождающей процедуры с указанием множества (множеств), которое пробегает параметр (параметры) этой процедуры - рекурсивный, индуктивный.

X={x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...} - мн-во чисел Фибониччи.

{мн-во элементов х, таких, что х 1 =1,х 2 =1 и произвольное х k+1 (при к=1,2,3,...) вычисляется по формуле х k+2 =х k +х k+1 } или Х=}