Математические фокусы. Секреты фокусов с числами и цифрами

29.03.2024

В одном из рассказов Сомерсета Моэма есть такой диалог:

Вы любите карточные фокусы?

Терпеть не могу.

Тогда я покажу вам один фокус.

После третьего фокуса жертва под каким-то предлогом сбегает.

Такую реакцию легко понять. Большинство карточных фокусов, если их показывает не искусный профессионал, а любитель, невыносимо скучны. Но существуют и другие карточные фокусы, для показа которых не требуется никакой ловкости рук. Именно они и представляют интерес с точки зрения математики.

Рассмотрим, например, следующий фокус. Зритель и фокусник садятся за стол друг против друга. Фокусник берет колоду карт, обращенных рубашкой вверх, и, перевернув двадцать из них рубашкой вниз, передает колоду зрителю. Зритель тщательно перетасовывает колоду, и перевернутые карты распределяются случайным образом. Держа колоду под столом так, чтобы ни он сам, ни фокусник не могли видеть карты, зритель отсчитывает двадцать верхних карт и, не вынимая из-под стола, передает фокуснику.

Фокусник берет стопку, но продолжает держать ее под столом так, чтобы не видеть карты. «Ни вы, ни я не знаем, - говорит он, - сколько перевернутых карт имеется среди тех 20, которые вы мне дали. Однако мне кажется, что их меньше, чем среди тех 32, которые остались у вас. Не глядя на карты, я сейчас переверну у себя еще несколько карт и попытаюсь уравнять число перевернутых карт в моей части колоды и в вашей».

Фокусник некоторое время возится с картами, делая вид, будто он пытается на ощупь определить у карт верхнюю и нижнюю стороны. Затем он вытаскивает свои карты наверх, раскладывает их на столе и пересчитывает перевернутые. Их оказывается ровно столько же, сколько среди тех 32 карт, которые находятся на руках зрителя.

Этот замечательный трюк лучше всего объяснять на примере одной из самых старых математических головоломок. Представьте себе, что перед вами два сосуда: в один из них налит литр воды, а в другой - литр вина. Один кубический сантиметр воды, взятый из первого сосуда, переливают в сосуд с вином и тщательно перемешивают. Затем берут один кубический сантиметр смеси и переливают его обратно в сосуд с водой. Чего теперь больше: воды в вине или вина в воде? (Мы пренебрегаем тем, что обычно смесь воды и спирта занимает меньший объем, чем сумма объемов спирта и воды до смешивания.)

Ответ таков: вина в воде ровно столько жее, сколько воды в вине. Забавно, что в этой задаче содержится слишком много информации, не относящейся к делу. Совершенно излишне знать, сколько жидкости в каждом сосуде, какое количество ее переливается и сколько раз повторяется переливание. Безразлично, тщательно ли перемешиваются жидкости. Несущественно даже то, одинаково ли количество жидкости в сосудах до переливания. Единственное действительно важное условие заключается в том, что каждый сосуд по окончании всех переливаний содержит точно такое же количество жидкости, какое было в нем сначала. Это условие означает, что какое бы количество вина мы ни взяли из сосуда с вином, нам непременно придется пополнить образовавшийся дефицит таким же количеством воды.

Если читателю приведенные рассуждения кажутся непонятными, он сможет разобраться в них с помощью колоды карт. Пусть 26 карт, разложенных в ряд на столе рубашками вверх, изображают собой вино, а 26 карт, разложенных в ряд вверх картинками, - воду. Сколько бы вы ни перекладывали карты из одного ряда в другой, если в конце концов в каждом ряду окажется снова по 26 карт, то число карт, лежащих рубашкой вверх в одном ряду, будет в точности совпадать с числом карт другого ряда, лежащих вверх картинкой.

Возьмем теперь стопку из 32 карт, обращенных вверх рубашкой, и стопку из 20 перевернутых карт и будем перекладывать карты из одной стопки в другую любое число раз, следя лишь за тем, чтобы в меньшей стопке все время оставалось 20 карт. Переворачивая меньшую стопку, вы закрываете открытые карты и, наоборот, открываете карты, которые раньше были закрыты. Поэтому после переворачивания в обеих стопках открытых карт станет поровну.

Теперь уже всем, наверное, ясно, как получается фокус с картами. Сначала фокусник переворачивает ровно 20 карт. Когда же он получает стопку из 20 карт от зрителя, число перевернутых карт в ней равно числу перевернутых карт в оставшейся части колоды.

Затем, делая вид, что он переворачивает какие-то новые карты, фокусник на самом деле переворачивает всю стопку из 20 полученных им карт. В результате в этой стопке оказывается столько же перевернутых карт, сколько их содержится среди 32 карт, оставшихся у зрителя. Математиков этот фокус особенно удивляет, потому им и приходят в голову очень сложные объяснения.

Когда все это будет сделано, вы поворачиваетесь к публике лицом и просите назвать чью-нибудь фамилию и имя, в которых было бы не менее 13 букв. Допустим, к примеру, кто-то назвал Бенвенуто Челлини. Держа в руках колоду карт, вы обращаетесь к зрителю, в кармане которого спрятаны отобранные им карты, и говорите, что он должен, называя каждую букву в имени и фамилии Бенвенуто Челлини, выкладывать при этом на стол по одной карте. Показывая, как это надо делать, вы снимаете по одной карте с вашей колоды и, произнося вслух каждую букву, выкладываете карты на стол рубашкой вверх. Затем вы собираете эти карты и кладете поверх оставшихся в колоде карт.

Всю колоду вы передаете зрителю и просите его положить те карты, которые лежат у него в кармане, сверху. Не забудьте подчеркнуть, что вы не знаете, сколько карт хранится у него в кармане.

И все же, несмотря на добавление к колоде неизвестного числа карт, после того как зритель произнесет по буквам «Б-Е-Н-В-Е-Н-У-Т-О Ч-Е-Л-Л-И-Н-И» и проделает все, о чем вы говорили, верхней картой в колоде окажется задуманная им карта!

Нетрудно понять, в чем здесь дело. Пусть х - число карт в кармане у зрителя и, следовательно, число карт, лежащих в колоде поверх задуманной им карты, а у - число букв в имени и фамилии названного зрителями лица. Показывая, как надо называть по буквам имя и фамилию, вы изменяете порядок у карт на обратный, вследствие чего «глубина залегания» замеченной карты становится равной у - х. Добавление к колоде х карт приводит к тому, что задуманная карта оказывается на (у - х + х) - м месте, считая сверху. Величины х и - х взаимно уничтожаются, и задуманная карта после того, как будет названо у букв, окажется сверху.

«Все карты в колоде останутся на своих местах, - говорит фокусник. - Я лишь выну из колоды одну карту. По цвету и значению она совпадет с той, которую вы сейчас выберете». С этими словами он извлекает из колоды одну карту и, не открывая, откладывает ее в сторону.

Выкладывая карты на девятку, он считает от 10 до 15 (то есть всего выкладывает шесть карт). Дама имеет значение, равное 12 (валет- 11, король-13), поэтому, выкладывая карты на нее, счет нужно начинать с 12. Поскольку кончается счет всегда на 15, дама окажется закрытой тремя картами. Поверх туза (значение 1) нужно выложить 14 карт.

После того как нужное число карт выложено, фокусник просит зрителя сложить значения трех нижних (открытых) карт и найти в колоде карту, номер которой совпадает с полученной суммой. В настоящем примере эта сумма равна 22 (9+12+1), поэтому зритель вынимает двадцать вторую карту. Наконец, фокусник открывает отложенную в самом начале фокуса карту. Обе карты - вынутая только что зрителем и отложенная давным-давно фокусником - совпадают и по значению, и по цвету!

Как делается этот фокус? Выбирая свою карту, фокусник должен посмотреть цвет и значение четвертой карты снизу и отложить карту, совпадающую с ней по цвету и значению. Остальное получается автоматически. (Иногда эта карта оказывается среди трех нижних карт колоды. Как только зритель кончит считать карты, не забудьте попросить его открыть следующую карту.)

Я предоставлю читателю самому провести несложное алгебраическое доказательство того, что фокус должен получаться всегда без осечек».

Простота, с которой тасуются карты, делает их очень удобными Для демонстрации ряда вероятностных теорем, из которых многие достаточно удивительны и вполне заслуживают, чтобы их называли фокусами. Представим себе, например, что у каждого из двух людей имеется по колоде из 52 карт. Один из них считает вслух от 1 до 52. На каждый счет оба выкладывают на стол по одной карте рубашкой вниз. Какова вероятность того, что в какой-то момент на стол будут выложены одновременно две одинаковые карты?

Многие, наверное, считают, что эта вероятность мала, а на самом деле она больше 1/2! Вероятность несовпадения равна 1, деленной на трансцендентное число е. (Это не совсем так, но ошибка составляет менее 1/1069) Поскольку число е равно 2,718…, вероятность совпадения приближенно равна 17/27, или почти 2/3. Если найдется желающий поспорить, что совпадения не будет, вы имеете довольно большие шансы выиграть пари. Интересно заметить, что, выкладывая карты из двух колод, мы получаем эмпирический метод для нахождения десятичного разложения числа е, аналогичный нахождению разложения числа π бросанием иглы Бюффона. Чем больше карт мы возьмем, тем ближе к 1/е будет вероятность несовпадения.

Кто же из нас в детстве не мечтал стать фокусником. Уже повзрослев, мы, конечно, понимаем, что в искусных представлениях вовсе нет никакой магии, но все так же продолжаем завораженно смотреть на ловкость рук профессионалов и умение поразить зрителя своими магическими выступлениями.

Развлекаемся вместе

Проводя время в компании, помимо активного отдыха, можно с удовольствием посоревноваться в интеллектуальных умениях. На помощь в этом вопросе, конечно же, вам придут различные загадки, головоломки и фокусы с числами или математические. Ко всему, вы сможете проверить и свой возможно, в вас скрываются необычайные возможности, коим позавидовал бы сам Эйнштейн. Представляем вам несколько вариантов идей, как разнообразить свой досуг в веселой компании, где, несомненно, вы сможете блеснуть своим умом и обаянием.

Занимательная математика

Доказано, что, решая математический фокус, вы прекрасно развиваете логическое мышление и отлично тренируете память.

Недаром эту науку считают царицей всех наук. Не стоит думать, что разгадать такие головоломки достаточно сложно, они всего лишь требуют значительной концентрации внимания и чуточку терпения.

Считаем числа

Прежде чем показывать в компании фокусы с числами, постарайтесь убедиться в наличии калькулятора под рукой или в хороших знаниях собеседником таблицы умножения, ну а также заранее потренируйтесь сами, чтобы не попасть впросак.

Одним из простых и забавных является умение быстро складывать несколько чисел, особенно интересно, когда числа многозначные, и их много. Пусть знакомый напишет числа, у которых количество цифр едино. Чем больше будет этих чисел, тем эффектнее будет казаться математический фокус. Далее вы дописываете к его числам такое же количество своих и предлагаете ему все сложить. Ответ вы можете дать мгновенно.

Суть состоит в том, что вы должны дописать числа по методу - цифры должны дополнять цифры вашего собеседника до числа 9. Пример: на число 874 вы должны дописать свое 125. Сумма считается по формуле Х×(10 ʸ -1), где х - y - количество цифр в числе. Если стоит цифра 9, то к ней приписывается 0.

Вам написали цифры 874, 587 и 254, вы дописываете свои 125, 412 и 745. Пока ваш испытуемый будет долго складываться все эти числа, вы быстро посчитаете 3×(10 ³ -1)=3×1000-3×1=2997.

Запутанные карты

Если в вашей компании под рукой окажется колода, то математические смогут вполне неплохо заинтересовать отдыхающих. Примеров их большое количество, рассмотрим же самый простой и достаточно популярный.

От колоды отсчитывается 21 карта. Они раскладываются на 7 рядов по 3 карты картинками вверх. Участник должен мысленно выбрать и запомнить приглянувшуюся ему карту, сообщив вам колонку, где она расположена. Далее сложите карты с колонок стопками, а затем эти стопки в одну. Ту стопку, где оказалась загаданная карта, всегда располагайте посередине. Переверните карты картинкой вниз и опять разложите их по той же схеме. Пусть зритель посмотрит и скажет, в какой колонке его карта. Снова все сложите, колонка, в которой загаданная карта, опять помещается между двумя другими, и заново разложите. Пусть зритель опять укажет стопку с картой, сложите их заново. Если посчитать карты, то загаданная карта будет 11 по счету.

Фокусы детям

При организации праздника для детей стоит учесть не только меню банкета, но и обязательно развлекательную часть программы. Придумывая все возможные забавы, конкурсы и активные игры, позаботьтесь и об интеллектуальной части. Математические не только помогут сконцентрировать их внимание, но и придадут празднику веселый юмористический настрой. Ко всему, это позволит детям сделать некую передышку между играми.

Достаточно простым, но в то же время интересным будет фокус, когда задействованы все участники. Предложите одному из зрителей написать на листе 3-значное число, второй участник пусть допишет к этому числу еще такое же, получилось уже 6-значное. Далее следующий пусть разделит его на 7, другой участник разделит полученное число уже на 11, после участник умножит число на 2, другой разделит результат на 13. В конце сумма на листке озвучивается ведущему, а он говорит загаданное изначально число. Этот математический фокус очень прост. Секрет в том, что когда число из 3 цифр было прописано второй раз, получилось, что его автоматически умножили на 1001, в дальнейшем мы делили его на 7, 11 и 13, тем самым просто поделили его на 1001. В итоге мы получили число из 3-х знаков, умноженное на 2, и по итогу вам просто нужно разделить число на 2.

Играем дома

Если за окном непогода и слякоть, а гости на пороге, придумать для них развлечения не составит большого труда. Домашние фокусы, техника исполнения которых легка и проста, придутся, как никогда, кстати. В основном, конечно, такие развлечения порадуют больше детей, нежели взрослых, но ведь любая шутка способна внести в обстановку некую непринужденность и позитивный настрой.

Очень простым является фокус с монетой. Возьмите несколько лимонов, положите их на тарелку и предложите зрителям выбрать любой из них. Лимоны можно трогать, дабы убедиться, что они целы и невредимы. Далее вы разрезаете лимон, а внутри него оказывается монета. Хитрость состоит в том, что заранее к ножу необходимо приклеить на пластилин маленькую монету, держа его в руке, прикрывайте ее пальцем. Как только вы начнете резать фрукт, осторожно подталкивайте монету к разрезу. Вытаскивая нож, зажмите его двумя половинками лимона, чтоб монета попала внутрь и слегка приклеилась. Вот и весь секрет.

Помните, что прежде чем приступать к исполнению, вы сами должны несколько освоить технику, будь то математический фокус или целое магическое выступление. Старайтесь делать все уверенно, четко и слаженно, дабы не вводить зрителя в сомнение в вашем профессионализме. Будьте уверены, что компания не только с радостью оценит ваше выступление, но и отлично скоротает время за столь увлекательными занятиями.

Игральные карты обладают некоторыми специфи-ческими свойствами, которые можно использовать при составлений фокусов математического характера. Мы укажем пять таких свойств.

1. Карты можно рассматривать просто как одина-ковые предметы, которые удобно считать; имеющиеся на них изображения не играют при этом никакой роли.
С таким же успехом можно было бы пользоваться ка-мешками, спичками или листочками бумаги.
2. Картам можно приписывать числовые значения от 1 до 13 в зависимости от того, что изображено на их лицевой стороне (при этом валет, дама и король
принимаются соответственно за 11, 12 и 13) 1).
3. Их можно делить на четыре масти или на чёрные и красные карты.
4. Каждая карта имеет лицевую и обратную стороны.
5. Карты компактны и одинаковы по размеру. Это позволяет раскладывать их различным образом, груп-пируя в ряды или составляя кучки, которые тут же
можно легко расстроить, просто смешав карты.

Благодаря такому обилию возможностей карточ-ные фокусы должны были появиться очень давно, и можно считать, что математические фокусы с картами, безусловно, столь же стары, как сама игра в карты.

По-видимому, наиболее раннее обсуждение карточ-ных фокусов, выполненное математиком, встречается в развлекательной книжке Клода, Гаспара Баше (Claud Gaspard Bachet «Problemes plaisants et deleсtables»), вышедшей во Франции в 1612 году. Впоследствии упо-минания о карточных фокусах появлялись во многих книжках, посвященных математическим развлече-ниям.

Первым и, возможно, единственным философом, сни-зошедшим до рассмотрения карточных фокусов, был американец Чарлз Пейрс (Charles Peirce). В одной из своих статей он признается, что в 1860 году «со-стряпал» несколько необыкновенных карточных фоку-сов, основанных, пользуясь его терминологией, на «циклической арифметике». Два таких фокуса он под-робно описывает под названием «первый курьез» и «второй курьез».

«Первый курьез» основан на теореме Ферма. Для одного лишь описания способа его демонстрации по-требовалось 13 страниц и дополнительно 52 страницы были заняты объяснением его сущности. И хотя Пейрс сообщает о «неизменной интересе и изумлении публи-ки», вызываемом его фокусом, кульминационный эф-фект этого фокуса представляется настолько не соответ-ствующим сложности приготовлений, что трудно пове-рить, что зрители не погружались в сон задолго до окон-чания его демонстрации.

Вот пример того, как в результате видоизменения способа демонстрации одного старого фокуса необычайно возросла его занимательность.

Шестнадцать карт раскладываются на столе лицевой стороной кверху в виде квадрата по четыре карты в ряд. Кому-нибудь предлагается задумать одну карту и сообщить показывающему, в каком вертикальном ряду она лежит. Затем карты собираются правой ру-кой по вертикальным рядам и последовательно скла-дываются в левую руку. После этого карты снова раскладываются в виде квадрата последовательно по горизонталям; таким образом, карты, лежавшие при первоначальной раскладке в одном И том же вер-тикальном ряду, теперь оказываются в одном и том же горизонтальном ряду. Показывающему нужно запомнить, в каком из них лежит теперь заду-манная карта. Далее зрителя просят еще раз указать, в каком вертикальном ряду он видит свою карту. По-нятно, что после этого показывающий может сразу же указать задуманную карту, которая будет лежать на пересечении только что названного вертикального ряда и горизонтального ряда, в котором, как известно, она должна находиться. Успех этого фокуса, ко-нечно, зависит от того, следит ли зритель за проце-дурой настолько внимательно, чтобы распознать суть дела.

В одном из рассказов Сомерсета Моэма есть такой диалог:
- Вы любите карточный фокус?
- Терпеть не могу.
- Тогда я покажу вам один фокус.

После третьего фокуса жертва под каким-то предлогом сбегает. Большинство карточных фокусов, если их показывает не искусный профессионал, а любитель, невыносим скучно. Но существует и другие карточные фокусы, для показа которых не требуется никакой ловкости рук. Именно они и представляют интерес с точки зрения математики.

Рассмотрим, например, следующий фокус. Зрители и фокусник садятся за стол друг против друга. Фокусник берёт колоду карт, обращенных рубашкой вверх, и, перевернув двадцать из них рубашкой вниз, передаёт колоду зрителю. Зритель тщательно перетасовывает колоду, и перевернутые карты распределяются случайным образом. Держа колоду под столом так, чтобы ни он сам, ни фокусник не могли видеть карты, зрители отсчитывают двадцать верхних карт, и, не вынимая из-под стола, передаёт фокуснику.

Фокусник берёт стопку, но продолжает держать её под столом так, видеть карты." Ни вы, ни я не знаем, - говорит он, - сколько перевернутых карт имеется среди тех 20, которых вы мне дали. Однако мне кажется, что их меньше, среди тех 32, которые остались у вас. Не глядя на карты, я сейчас переверну у себя ещё несколько карт и попытаюсь уравнять число перевернутых карт в моей части колоды и в вашей".

Фокусник некоторое время возится с картами, делая вид, будто он пытается на ощупь определить у карт верхнюю и нижнюю сторону. Затем он вытаскивает свои карты наверх, раскладывает их на стол и пересчитывает перевернутые. Их оказывается ровно столько же, сколько среди тех 32 карт, которые находятся на руках у зрителя.

Этот замечательный трюк лучше всего объяснить на примере одной из самых старых математических головоломок. Представьте себе, что перед вами два сосуда: в один из них налит литр воды, а в другой - литр вина. Один кубический сантиметр воды, взятый из первого сосуда, переливают в сосуд с вином и тщательно перемешивают. Затем берут один кубический сантиметр смеси и переливают его обратно в сосуд с водой. Чего теперь больше: воды в вине или вина в воде? (Мы пренебрегаем тем, что обычно смесь воды и спирта занимает меньший объём спирта и воды до смешивания).

Ответ таков: вина в воде ровно столько же, сколько воды в вине. Забавно что в этой задаче содержится слишком много информации, не относящейся к делу. Совершенно излишне знать, сколько жидкости в каждом сосуде, какое количество её переливается и сколько раз повторяется переливание. Безразлично, тщательно ли перемешиваются жидкости. Несущественно даже то, одинаково ли количество жидкости в сосудах до переливания. Единственное действительно важное условия заключается в том, что каждый сосуд по окончание всех переливаний содержит точно такое же количество жидкости, какое было в нём сначала. Это условие означает, что какое бы количества вина мы ни взяли из сосуда с вином, нам непременно придётся пополнить образовавшийся дефицит таким же количество воды.(Можно сказать так: нехватка вина в сосуде с вином равна количеству вина в сосуде с водой. - Прим. Ред.)

Если читателю приведённые рассуждения кажутся непонятными, он сможет разобраться в них с помощью колоды карт. Пусть 26 карт, разложенных в ряд на столе рубашками вверх, изображают собой вино, а 26 карт, разложенных в ряд вверх картинками, - воду. Сколько бы вы ни перекладывали карты из одного ряда в другой, если в конце концов в каждом ряду окажется снова по 26 карт, то число карт, лежащих рубашкой вверх в одном ряду, будет в точности совпадать с числом карт другой ряда, лежащих вверх картинкой.

Возьмём тетерь стопу из 32 карт, обращённых вверх рубашкой, и стопку из 20 перевёрнутых карт и будим перекладывать карты из одной стопки в другую любое число раз, следя лишь за тем, чтобы в меньшей стопке всё время оставалось 20 карт. Переворачивая меньшею стопку, вы закрываете открытые карты и, наоборот, открываете карты, которые раньше были закрыты. Поэтому после переворачивание в обеих стопках открытых карт станет поровну.

Теперь уже всем, наверное, ясно, как получается фокус с картами. Сначала фокусник переворачивает ровно 20 карт. Когда же он получает стопку из 20 от зрителя, число неперевернутых карт в ней равно число перевернутых карт в оставшейся части колоды. Затем, делая вид, что он переворачивает какие-то новые карты, фокусник на самом деле переворачивает всю стопку из 20 полученных им карт. В результате в этой стопке оказывается столько же перевёрнутых карт, сколько их содержится среди 32 карт, оставшихся у зрителя. Математиков этот фокус особенно удивляет, потому им и приходят в голову очень сложные объяснения.

На элементарных математических принципах основаны и многие фокусы с отгадыванием числа карт. Вот один из лучших фокусов этого типа. Повернувшись спиной к зрителям, попросите кого-нибудь из присутствующих взять из колоды любое число карт от 1 до 12 и, не называя число отобранных карт, спрятать их в карман. Затем ваш помощник должен отсчитать сверху колоды ровно столько карт, сколько он уже спрятал у себя в кармане, и запомнить следующую за последний отсчитанной картой. Когда все это будет сделано, вы поворачиваетесь к публике лицом и просите назвать чью-нибудь фамилию и имя, в которых было бы не менее 13 букв. Допустим, к примеру, кто-то назвал Бенвенуто Челлини. Держа в руках колоду карт, вы обращаетесь к зрителю, в кармане которого спрятаны отобранные им карты, и говорите, что он должен, называя каждую букву в имени и фамилии Бенвенуто Челлини, выкладывать при этом на стол по одной карте. Показывая, как это надо делать, вы снимаете по одной карте с вашей колоды и произнося вслух каждую букву, выкладываете карты на стол рубашкой вверх. Затем вы собираете эти карты и кладёте поверх оставшихся в колоде карт.

Вcю колоду вы передаёте зрителю и просите его положить те карты, которые лежат у него в кармане, сверху. Не забудьте подчеркнуть, что вы не знаете, сколько карт хранится у него в кармане. И все же, несмотря на добавление в колоде неизвестного числа карт, после того как зритель произнесёт по буквам "Бенвенуто Челлини" и проделает все, о чём вы говорили, верхний картой в колоде окажется задуманная им карта!

Нетрудно понять, в чём здесь дело. Пусть x - число карт в кармане у зрителя и, следовательно, число карт, лежащих в колоде поверх задуманной им карты, а у - число букв в имени и фамилии названного зрителями лица. Показывая, как надо называть по буквам имя и фамилию, вы изменяете порядок у карт на обратный, вследствие чего "глубина залегания" замеченной карты становится у - x. Добавления к колоде x карт приводит к тому, что задуманная карта оказывается на (у - x + x)-м месте, считая сверху. Величины x и - x взаимно уничтожаются, и задуманная карта после того, как будет у букв, окажется сверху.

На более тонком использовании того обстоятельства, что результаты отдельных манипуляций с картами могут компенсировать друг друга, основан следующий фокус. Зритель выбирает любые три карты их закрытыми на стол, не показывая фокуснику. Остальные карты, тщательно перетасовав, зритель возвращает фокуснику. "Все карты в колоде останутся на своих местах, - говорит фокусник. - Я лишь вынул из колоды одну карту. По цвету и значению она совпадает с той, которую вы сейчас выберете". С этими словами он извлекает из колоды одну карту и не открывая, откладывает её в сторону.

Оставшиеся карты вручают зрителю и просят его открыть те три карты, которые он ранее выложил на стол. Предположим, что это были девятка, дама и туз. На каждую из открытых карт зритель кладёт рубашкой вверх карты из колоды, считая при этом вслух. Выкладывая карты на девятку, он считает от 10 до 15 (то есть всего выкладывает шесть карт). Дама имеет значения, равное 12 (валет - 11, король - 13), поэтому, выкладывая карты на неё, счёт нужно начинать с 12. Поскольку кончается счёт всегда на 15, дама окажется закрытой тремя картами. Поверх туза (значение - 1) нужно выложить 14 карт.

По того как нужное число карт выложено, фокусник просит зрителя сложить значение трёх нижних (открытых) карт и найти в колоде карту номер которой совпадает с полученной суммой. В настоящим примере это сумма равна 22 (9 +12 +1), поэтому зритель вынимает двадцать вторую карту. Наконец, фокусник открывает отложенную в самом начале фокуса карту. Обе карты - вынутая только что зрителям и отложённая давным-давно фокусником - совпадает и по значению, и по цвету!

Как делается этот фокус? Выбирая свою карту, фокусник должен подсмотреть цвет и значение четвёртой карты снизу и отложить карту, совпадающую с ней по цвету и значению. Остальное получается автоматически. (Иногда эта карта оказывается среди тех нижних карт колоды. Как только зритель кончит карты, не забудьте попросить его открыть следующую карту.) Я предоставляю читателю самому провести несложное алгебраическое доказательство того, что фокус должен получаться всегда без "осечек". Простота, с которой тасуются карты, делает их очень удобными для демонстрации ряда вероятностных теорем, из которых многие достаточно удивительны и вполне заслуживают, чтобы их называли фокусами. Представим себе, например, что у каждого из двух людей имеется по колоде из 52 карт. Один из них считает вслух от 1 до 52. На каждый счёт оба выкладывают на стол по одной карте рубашкой вниз. Какова вероятность того, что в какой-то момент на стол будут выложены одновременно две одинаковые карты?

Многие, наверное, считают, что эта вероятность мала, а на самом деле она больше! Вероятность несовпадения равна 1, делённой на трансцендентное числе e. (Это не совсем так, но ошибка составляет менее 1/10.) Поскольку число e равно 2,718…, вероятность совпадения приближённо равна 17/27. Если найдётся желающий поспорить, что совпадения не будет, вы имеете довольно большие шансы выиграть пари. Интересно заметить, что, выкладывая карты из двух колоды, мы получаем эмпирический метод для нахождения десятичного разложения числа e, аналогичный нахождению разложения числа пи бросанием иглы Бюффона . Чем больше карт мы возьмём, тем ближе к 1/e будет вероятность несовпадения.

Текст с книжки набрал Никита Скляревский

Математические фокусы - самые простые в исполнении, они не требуют реквизита, длительной тренировки и особого места для их демонстрации. Они очень хорошо подходят для детей. Познакомтесь с этими занимательными фокусами.

Такими фокусами с числами можно удивлять друзей за столом, в долгой поездке или летним днем в тени ветвистой яблони. Смысл этих фокусов состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними.

Главное - это то, что фокусник знает секрет: особые свойства чисел. Все эти чудеса основаны на математических закономерностях, свойствах фигур и чисел. Такие фокусы вы сможете проделывать на уроках алгебры и геометрии.

И хотя вместо цифр, геометрических фигур в некоторых фокусах мы будем использовать различные предметы, все они связаны с числами. Вначале попробуйте проделать самые простые фокусы на обыкновенное угадывание.

Только помните: эти фокусы с цифрами будут получаться только тогда, когда вы научитесь быстро считать в уме. Поэтому начинать советуем с тренировки в устном счете, причем от меньших цифр к большим.

Математический фокус - Угадай число

Попросите любого зрителя задумать число,
после этого число он должен умножить на 2,
прибавить к результату 8,
разделить результат на 2 и
задуманное число отнять.

В результате вы смело называете число 4.

Секрет фокуса.

Например, зритель задумал число 7. 7x2= 14 14+ 8= 22 22: 2= 11 11- 7= 4

Угаданный день рождения

Содержание этого математического фокуса.

Объявите зрителям, что вы сможете угадать день рождения любого незнакомого человека, сидящего в зале.

Вызовите любого желающего и предложите ему умножить на 2 число дня своего рождения
Затем пусть зритель сложит получившееся произведение и число 5,
теперь пусть умножит на 50 полученную сумму.
К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль - 7, январь - 1)
вслух назвать полученное число.

Через секунду вы называете день и месяц рождения зрителя.

Секрет этого математического фокуса.

Все очень просто. В уме от того числа, которое назвал зритель, отнимите 250.

У вас должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры - день рождения, две последние - месяц.

Фокус с Отгадыванием числа

Для этого математического фокуса Вам понадобятся:

заранее приготовленные листы бумаги (по числу зрителей),
карандаши или ручки (по числу зрителей),
калькуляторы.

Представьтесь зрителям как великий математик, дрессировщик цифр, читающий чужие мысли. Попросите зрителей задумать какое-нибудь число. Вопрос вы можете задать абсолютно любой, например: сколько дней в неделю вы хотели бы кататься на велосипеде, есть манную кашу, не ходить в школу, бегать по лужам. Весь смысл не в вопросе, а в задуманном зрителями числе.

Раздайте зрителям бумажки и ручки и дайте задание письменно ответить на ваш вопрос. Пусть каждый напишет, сколько дней в неделю он хотел бы есть морковку.

Теперь пусть каждый умножит это число на 2, затем к полученному числу морковок прибавит 5, после чего умножит эту сумму на 50. Теперь пусть каждый сделает следующее: если в этом году уже был день рождения, прибавить 1 750, если нет - 1 749. Теперь из этого числа каждый должен вычесть свой год рождения и к этому числу прибавить 7.

Разгаданный результат математических вычеслений

Вам понадобятся: заранее приготовленные листы бумаги, карандаши или ручки, калькуляторы.

Предложите зрителям задумать трехзначное число и записать его на бумаге. При загадывании числа должно быть выполнено одно условие: цифра сотен не должна быть равна цифре единиц и не должна быть на единицу меньше или больше ее. Если вы еще путаетесь в сотнях и единицах, то на первом месте в трехзначных числах стоят сотни, на втором десятки, на третьем единицы (например, подойдет число 531).

Теперь зрители должны перевернуть задуманное число, т.е. написать цифры в обратном порядке (135).
Затем зрители должны взять эти два числа и из большего вычесть меньшее (531 - 135).
Получившуюся разницу снова нужно перевернуть (396; 693) и сложить эти два числа (396 + 693).
Потом один из зрителей должен прибавить к полученной сумме 100, второй - 200, третий - 300 и т. д.
Теперь вы можете отгадать, что получилось у каждого зрителя, но при том условии, что они к своему последнему числу прибавят цифру 1 089. У первого зрителя, прибавлявшего 100, получится 1 189, у второго - 1 289, у третьего - 1 389.
Теперь попросите любого из зрителей назвать получившуюся цифру.
Должно получиться двухзначное или трехзначное число. Первая цифра - количество морковок, остальные - возраст человека. Секрет фокуса. Сколько бы ни прибавляли и ни отнимали, это все хитрости алгебры. Только ваши зрители не догадываются об этом, весь секрет фокуса в тех числах, которые вы заставляете их прибавлять, отнимать, делить.
Вот как это выглядит. Например, вы загадали 2 дня в неделю для поедания морковки.
Теперь умножьте 2 на 2, получится 4.
Потом к 4 прибавьте 5, получится 9, затем 9 умножьте на 50, получится 450.

Допустим, ваш день рождения 18 июля 1997 г. Например, сейчас сентябрь-месяц и ваш день рождения уже прошел.

Значит, прибавьте к 450 число 1 750, получится 2 200.
Теперь из числа 2 200 вычтите год рождения 1997, получится 203, к этому числу прибавьте 7.
Результат - 210 (2 дня и 10 лет).

Во втором случае из числа 2 199 вычтите 1 997, получится число 202, прибавьте 7, получится 209. Значит, загадано 2 дня морковки и 9 лет загадавшему.

Совет: Перед выполнением этого математического фокуса раздайте зрителям калькуляторы, чтобы они не ошиблись в вычислениях, а для себя на первое время запишите на карточке порядок действий с цифрами: на что умножить, что прибавить, из чего вычесть.

Секрет фокуса.

Для того чтобы узнать, что получилось, вам не нужно знать задуманное число. Главное - прибавлять к числу 1 089 то число (100, 200, 300, 400...), которое они прибавляли в самом конце. Для того чтобы не перепутать, у кого что получилось, в самом конце фокуса можно раздать карточки с цифрами 100, 200, 300 и попросить держать их при отгадывании конечного результата.

Задуманное число

Вам понадобятся: заранее приготовленные листы бумаги (по числу зрителей), карандаши или ручки, калькуляторы.

Предложите своим зрителям задумать двузначное число.
Теперь пусть они умножат число его десятков на 2,
прибавят к этому произведению число 5,
умножат эту сумму на 5,
к полученному произведению прибавят 10 и число единиц того числа, которое задумали.

Пусть любой зритель скажет, что у него получилось. Вычтите из полученного результата число 35 (лучше сделать это в уме или на калькуляторе, не посвящая в свои действия зрителей), и вы сможете назвать задуманное зрителями число.