Σε αυτή την περίπτωση τα γεγονότα ονομάζονται ανεξάρτητα. Θεωρία πιθανοτήτων

Διάκριση μεταξύ εξαρτημένων και ανεξάρτητων γεγονότων. Δύο γεγονότα ονομάζονται ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν αλλάζει την πιθανότητα εμφάνισης του άλλου. Για παράδειγμα, εάν υπάρχουν δύο αυτόματες γραμμές σε ένα συνεργείο, οι οποίες δεν συνδέονται μεταξύ τους από τις συνθήκες παραγωγής, τότε οι στάσεις αυτών των γραμμών είναι ανεξάρτητα γεγονότα.

Καλούνται διάφορα γεγονότα συλλογικά ανεξάρτητηαν κάποιο από αυτά δεν εξαρτάται από κάποιο άλλο γεγονός και από οποιοδήποτε συνδυασμό των άλλων.

Οι εκδηλώσεις καλούνται εξαρτώμενοςεάν ένα από αυτά επηρεάζει την πιθανότητα του άλλου. Για παράδειγμα, δύο μονάδες παραγωγής συνδέονται με έναν μόνο τεχνολογικό κύκλο. Τότε η πιθανότητα αποτυχίας του ενός εξαρτάται από την κατάσταση του άλλου. Η πιθανότητα ενός γεγονότος Β, που υπολογίζεται με την υπόθεση της εμφάνισης ενός άλλου γεγονότος Α, ονομάζεται υπό όρους πιθανότητασυμβάντα Β και συμβολίζονται με Ρ (Α | Β).

Η συνθήκη για την ανεξαρτησία του γεγονότος Β από το γεγονός Α γράφεται με τη μορφή P (B | A) = P (B), και η συνθήκη για την εξάρτησή του - με τη μορφή P (B | A) ≠ P (B).

Η πιθανότητα ενός συμβάντος στις δοκιμές του Μπερνούλι. Ο τύπος του Poisson.

Επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές, Δοκιμές Bernoulli ή σχήμα BernoulliΤέτοιες δοκιμές καλούνται εάν για κάθε δοκιμή υπάρχουν μόνο δύο αποτελέσματα - η εμφάνιση του γεγονότος Α ή και η πιθανότητα αυτών των γεγονότων παραμένει αμετάβλητη για όλες τις δοκιμές. Αυτό το απλό σχήμα τυχαίας δοκιμής έχει μεγάλη σημασία στη θεωρία πιθανοτήτων.

Το πιο διάσημο παράδειγμα των δοκιμών του Μπερνούλι είναι το πείραμα με τη διαδοχική ρίψη ενός σωστού (συμμετρικού και ομοιογενούς) νομίσματος, όπου το γεγονός Α είναι η πτώση, για παράδειγμα, του «οικόσημου» («ουρές»).

Ας σε κάποιο πείραμα η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι ίση με P (A) = p, τότε, όπου p + q = 1. Ας εκτελέσουμε το πείραμα n φορές, υποθέτοντας ότι οι μεμονωμένες δοκιμές είναι ανεξάρτητες, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα οποιασδήποτε από αυτές δεν σχετίζεται με τα αποτελέσματα προηγούμενων (ή επόμενων) δοκιμών. Ας βρούμε την πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων A ακριβώς k φορές, ας πούμε μόνο στα πρώτα k τεστ. Έστω το γεγονός που, με n τεστ, το γεγονός Α εμφανίζεται ακριβώς k φορές στις πρώτες δοκιμές. Το συμβάν μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Αφού υποθέσαμε ότι τα πειράματα ήταν ανεξάρτητα, τότε

41) [σελίδα 2]Εάν θέσουμε το ερώτημα της εμφάνισης του γεγονότος A k φορές σε n τεστ με αυθαίρετη σειρά, τότε το γεγονός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή

Ο αριθμός των διαφορετικών όρων στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας είναι ίσος με τον αριθμό των δοκιμών από n έως k, επομένως η πιθανότητα των γεγονότων, που θα υποδηλώσουμε, είναι

Η ακολουθία των γεγονότων σχηματίζει μια πλήρη ομάδα ανεξάρτητων γεγονότων ... Πράγματι, από την ανεξαρτησία των γεγονότων, αποκομίζουμε

Εάν, κατά την εμφάνιση ενός γεγονότος, η πιθανότητα ενός συμβάντος δεν αλλάζει, τότε τα γεγονότα και λέγονται ανεξάρτητος.

Θεώρημα:Πιθανότητα κοινής εμφάνισης δύο ανεξάρτητων γεγονότων και (έργα και ) ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Πράγματι, από τότε εκδηλώσεις και ανεξάρτητο λοιπόν
... Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος για την πιθανότητα του γινομένου των γεγονότων και παίρνει τη μορφή.

Εκδηλώσεις
λέγονται κατά ζεύγη ανεξάρτητηεάν δύο από αυτά είναι ανεξάρτητα.

Εκδηλώσεις
λέγονται συλλογικά ανεξάρτητοι (ή απλώς ανεξάρτητοι)αν καθένα από αυτά είναι ανεξάρτητα και κάθε γεγονός και όλα τα πιθανά προϊόντα των άλλων είναι ανεξάρτητα.

Θεώρημα:Η πιθανότητα του γινόμενου ενός πεπερασμένου αριθμού ανεξάρτητων γεγονότων σε ένα σύνολο
είναι ίσο με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Ας επεξηγήσουμε τη διαφορά στην εφαρμογή των τύπων για την πιθανότητα γινομένου γεγονότων για εξαρτημένα και ανεξάρτητα γεγονότα με παραδείγματα

Παράδειγμα 1... Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο από τον πρώτο σκοπευτή είναι 0,85, ο δεύτερος 0,8. Τα όπλα έριξαν έναν πυροβολισμό τη φορά. Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον μία οβίδα να χτυπήσει τον στόχο;

Λύση: P (A + B) = P (A) + P (B) –P (AB) Επειδή οι βολές είναι ανεξάρτητες, τότε

P (A + B) = P (A) + P (B) –P (A) * P (B) = 0,97

Παράδειγμα 2... Η λάρνακα περιέχει 2 κόκκινες και 4 μαύρες μπάλες. Από αυτό βγαίνουν 2 μπάλες στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι κόκκινες.

Λύση: 1 θήκη. Γεγονός Α - η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας στην πρώτη αφαίρεση, γεγονός Β - στη δεύτερη. Γεγονός Γ - η εμφάνιση δύο κόκκινων σφαιρών.

P (C) = P (A) * P (B / A) = (2/6) * (1/5) = 1/15

2 περίπτωση. Η πρώτη μπάλα που αφαιρέθηκε επιστρέφεται στο καλάθι.

P (C) = P (A) * P (B) = (2/6) * (2/6) = 1/9

Τύπος συνολικής πιθανότητας.

Αφήστε το γεγονός μπορεί να συμβεί μόνο με ένα από τα ασυνεπή γεγονότα
σχηματίζοντας μια ολοκληρωμένη ομάδα. Για παράδειγμα, ένα κατάστημα λαμβάνει το ίδιο προϊόν από τρεις επιχειρήσεις και σε διαφορετικές ποσότητες. Η πιθανότητα κυκλοφορίας προϊόντων χαμηλής ποιότητας σε αυτές τις επιχειρήσεις είναι διαφορετική. Ένα από τα στοιχεία επιλέγεται τυχαία. Απαιτείται να προσδιοριστεί η πιθανότητα ότι αυτό το προϊόν είναι κακής ποιότητας (συμβάν ). Εδώ τα γεγονότα
Είναι η επιλογή ενός προϊόντος από τα προϊόντα της αντίστοιχης επιχείρησης.

Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα του γεγονότος μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των προϊόντων των γεγονότων
.

Με το θεώρημα πρόσθεσης για τις πιθανότητες ασυνεπών γεγονότων, προκύπτει
... Χρησιμοποιώντας το θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων, βρίσκουμε

.

Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται τύπος συνολικής πιθανότητας.

Φόρμουλα Bayes

Αφήστε το γεγονός συμβαίνει ταυτόχρονα με ένα από τα ασυνεπή γεγονότα
των οποίων οι πιθανότητες
(
) είναι γνωστά πριν από το πείραμα ( a priori πιθανότητες). Πραγματοποιείται ένα πείραμα, ως αποτέλεσμα του οποίου καταγράφεται η εμφάνιση του γεγονότος , και είναι γνωστό ότι αυτό το γεγονός είχε ορισμένες πιθανότητες υπό όρους
(
). Απαιτείται η εύρεση των πιθανοτήτων των γεγονότων
αν είναι γνωστό ότι το γεγονός συνέβη ( εκ των υστέρων πιθανότητες).

Το πρόβλημα είναι ότι, έχοντας νέες πληροφορίες (έχει συμβεί το συμβάν Α), είναι απαραίτητο να υπερεκτιμηθούν οι πιθανότητες γεγονότων
.

Με βάση το θεώρημα για την πιθανότητα του γινομένου δύο γεγονότων

.

Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται Οι τύποι του Bayes.

Βασικές έννοιες της συνδυαστικής.

Κατά την επίλυση ορισμένων θεωρητικών και πρακτικών προβλημάτων, απαιτείται η σύνθεση διαφόρων συνδυασμών από ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχείων σύμφωνα με δεδομένους κανόνες και ο υπολογισμός του αριθμού όλων των πιθανών τέτοιων συνδυασμών. Τέτοιες εργασίες συνήθως ονομάζονται συνδυαστική.

Όταν λύνουν προβλήματα, οι συνδυαστικοί χρησιμοποιούν τους κανόνες του αθροίσματος και του προϊόντος.

Στις εργασίες USE στα μαθηματικά, υπάρχουν επίσης πιο σύνθετα προβλήματα πιθανοτήτων (από ό,τι εξετάσαμε στο Μέρος 1), όπου πρέπει να εφαρμόσετε τον κανόνα της πρόσθεσης, τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων και να διακρίνετε μεταξύ κοινών και ασύμβατων γεγονότων.

Η θεωρία λοιπόν.

Κοινά και ασύμβατα συμβάντα

Τα γεγονότα ονομάζονται ασυνεπή εάν η εμφάνιση ενός από αυτά αποκλείει την εμφάνιση άλλων. Δηλαδή, μόνο ένα συγκεκριμένο γεγονός μπορεί να συμβεί, ή το άλλο.

Για παράδειγμα, με τη ρίψη ενός ζαριού, μπορούν να διακριθούν γεγονότα όπως ζυγός αριθμός πόντων και περιττός αριθμός πόντων. Αυτά τα γεγονότα είναι ασυνεπή.

Γεγονότα ονομάζονται κοινά γεγονότα εάν η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν αποκλείει την εμφάνιση του άλλου.

Για παράδειγμα, με τη ρίψη ενός ζαριού, μπορούν να διακριθούν γεγονότα όπως μονός αριθμός πόντων και πολλαπλάσιο τριών πόντων. Όταν γίνονται τρεις ρολά, συμβαίνουν και τα δύο γεγονότα.

Άθροισμα γεγονότων

Το άθροισμα (ή ο συνδυασμός) πολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα γεγονότα.

Εν άθροισμα δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:

Για παράδειγμα, η πιθανότητα να λάβετε 5 ή 6 πόντους σε ένα ζάρι με μία ρίψη θα οφείλεται στο ότι και τα δύο γεγονότα (ζαριά 5, ζαριά 6) είναι ασυνεπή και η πιθανότητα να συμβεί το ένα ή το δεύτερο γεγονός υπολογίζεται ως εξής:

Η πιθανότητα το άθροισμα δύο κοινών γεγονότων ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η από κοινού εμφάνισή τους:

Για παράδειγμα, σε ένα εμπορικό κέντρο, δύο πανομοιότυπα μηχανήματα αυτόματης πώλησης πωλούν καφέ. Η πιθανότητα να τελειώσει η μηχανή από καφέ μέχρι το τέλος της ημέρας είναι 0,3. Η πιθανότητα να ξεμείνει από καφέ και στις δύο μηχανές είναι 0,12. Ας βρούμε την πιθανότητα μέχρι το τέλος της ημέρας να τελειώσει ο καφές σε τουλάχιστον μία από τις μηχανές (δηλαδή είτε στη μία είτε στην άλλη είτε και στις δύο ταυτόχρονα).

Η πιθανότητα του πρώτου γεγονότος «ο καφές τελειώνει στην πρώτη μηχανή» καθώς και η πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος «ο καφές τελειώνει στη δεύτερη μηχανή» είναι ίση με 0,3 ανάλογα με την συνθήκη. Οι εκδηλώσεις είναι συλλογικές.

Η πιθανότητα κοινής πραγματοποίησης των δύο πρώτων γεγονότων κατά συνθήκη είναι 0,12.

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα μέχρι το τέλος της ημέρας τουλάχιστον ένα από τα μηχανήματα να ξεμείνει από καφέ

Εξαρτημένες και ανεξάρτητες εκδηλώσεις

Δύο τυχαία γεγονότα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα αν η εμφάνιση του ενός από αυτά δεν αλλάζει την πιθανότητα να συμβεί και του άλλου. Διαφορετικά, τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται εξαρτημένα.

Για παράδειγμα, αν ρίξουν δύο ζάρια ταυτόχρονα, το αποτέλεσμα σε ένα από αυτά, ας πούμε στο 1, και στο δεύτερο 5, είναι ανεξάρτητα γεγονότα.

Προϊόν των πιθανοτήτων

Το γινόμενο (ή τομή) πολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην κοινή εμφάνιση όλων αυτών των γεγονότων.

Αν συμβούν δύο ανεξάρτητες εκδηλώσειςΑ και Β με πιθανότητες, αντίστοιχα, Ρ (Α) και Ρ (Β), τότε η πιθανότητα εμφάνισης των γεγονότων Α και Β είναι ταυτόχρονα ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων:

Για παράδειγμα, μας ενδιαφέρει η πτώση των έξι στα ζάρια δύο συνεχόμενες φορές. Και τα δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα και η πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός ξεχωριστά είναι. Η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο αυτά γεγονότα θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο:.

Δείτε μια επιλογή εργασιών για την επεξεργασία του θέματος.

Είναι απίθανο πολλοί άνθρωποι να σκεφτούν αν είναι δυνατό να υπολογιστούν γεγονότα που είναι λίγο πολύ τυχαία. Με απλά λόγια, είναι ρεαλιστικό να γνωρίζουμε ποια πλευρά της μήτρας ακολουθεί; Ήταν αυτό το ερώτημα που τέθηκε από δύο μεγάλους επιστήμονες που έθεσαν τα θεμέλια για μια τέτοια επιστήμη όπως η θεωρία των πιθανοτήτων, στην οποία η πιθανότητα ενός γεγονότος μελετάται αρκετά εκτενώς.

Εναρξη

Αν προσπαθήσετε να ορίσετε μια τέτοια έννοια όπως η θεωρία των πιθανοτήτων, λαμβάνετε τα εξής: αυτός είναι ένας από τους κλάδους των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη της σταθερότητας των τυχαίων γεγονότων. Φυσικά, αυτή η ιδέα δεν αποκαλύπτει πραγματικά ολόκληρη την ουσία, επομένως είναι απαραίτητο να το εξετάσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες.

Θα ήθελα να ξεκινήσω με τους δημιουργούς της θεωρίας. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ήταν δύο από αυτούς, αυτός και ήταν αυτοί που ήταν από τους πρώτους που προσπάθησαν, χρησιμοποιώντας τύπους και μαθηματικούς υπολογισμούς, να υπολογίσουν το αποτέλεσμα ενός γεγονότος. Συνολικά, τα βασικά στοιχεία αυτής της επιστήμης εμφανίστηκαν στο Μεσαίωνα. Εκείνη την εποχή, διάφοροι στοχαστές και επιστήμονες προσπάθησαν να αναλύσουν τα τυχερά παιχνίδια όπως η ρουλέτα, τα ζάρια και ούτω καθεξής, καθορίζοντας έτσι το μοτίβο και το ποσοστό εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αριθμού. Τα θεμέλια τέθηκαν τον δέκατο έβδομο αιώνα από τους προαναφερθέντες επιστήμονες.

Αρχικά, τα έργα τους δεν μπορούσαν να αποδοθούν στα μεγάλα επιτεύγματα σε αυτόν τον τομέα, γιατί ό,τι έκαναν ήταν απλώς εμπειρικά γεγονότα και τα πειράματα ήταν στημένα οπτικά, χωρίς τη χρήση τύπων. Με την πάροδο του χρόνου, αποδείχθηκε ότι πέτυχε εξαιρετικά αποτελέσματα, τα οποία εμφανίστηκαν ως αποτέλεσμα της παρατήρησης της ρίψης των οστών. Ήταν αυτό το εργαλείο που βοήθησε στην εξαγωγή των πρώτων κατανοητών τύπων.

Άνθρωποι ομοϊδεάτες

Είναι αδύνατο να μην αναφέρουμε ένα τέτοιο άτομο όπως ο Christian Huygens στη διαδικασία μελέτης ενός θέματος που ονομάζεται "θεωρία πιθανοτήτων" (η πιθανότητα ενός γεγονότος καλύπτεται σε αυτήν ακριβώς την επιστήμη). Αυτό το άτομο είναι πολύ ενδιαφέρον. Αυτός, όπως και οι επιστήμονες που παρουσιάστηκαν παραπάνω, προσπάθησε να συμπεράνει την κανονικότητα των τυχαίων γεγονότων με τη μορφή μαθηματικών τύπων. Αξιοσημείωτο είναι ότι δεν το έκανε αυτό μαζί με τον Πασκάλ και τον Φερμά, δηλαδή όλα του τα έργα δεν διασταυρώθηκαν με αυτά τα μυαλά. Ο Χάιγκενς έφερε

Ένα ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι το έργο του βγήκε πολύ πριν από τα αποτελέσματα των κόπων των ανακαλύψεων, ή μάλλον, είκοσι χρόνια νωρίτερα. Μεταξύ των καθορισμένων εννοιών, οι πιο γνωστές είναι:

• την έννοια της πιθανότητας ως μέγεθος πιθανότητας.
• μαθηματική προσδοκία για διακριτές περιπτώσεις.
• θεωρήματα πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης πιθανοτήτων.

Είναι επίσης αδύνατο να μην θυμηθούμε ποιος συνέβαλε επίσης σημαντικά στη μελέτη του προβλήματος. Πραγματοποιώντας τις δικές του, ανεξάρτητες δοκιμές, μπόρεσε να παρουσιάσει μια απόδειξη του νόμου των μεγάλων αριθμών. Με τη σειρά τους, οι επιστήμονες Poisson και Laplace, που εργάστηκαν στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, μπόρεσαν να αποδείξουν τα αρχικά θεωρήματα. Ήταν από αυτή τη στιγμή που η θεωρία των πιθανοτήτων άρχισε να χρησιμοποιείται για την ανάλυση σφαλμάτων κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεων. Οι Ρώσοι επιστήμονες, ή μάλλον οι Markov, Chebyshev και Dyapunov, δεν μπορούσαν να ξεπεράσουν ούτε αυτή την επιστήμη. Αυτοί, με βάση τη δουλειά που έκαναν οι μεγάλες ιδιοφυΐες, εδραίωσαν αυτό το μάθημα ως κλάδο των μαθηματικών. Αυτά τα στοιχεία λειτούργησαν ήδη στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα και χάρη στη συμβολή τους, αποδείχθηκαν τέτοια φαινόμενα όπως:

• ο νόμος των μεγάλων αριθμών.
• η θεωρία των αλυσίδων Markov.
• θεώρημα κεντρικού ορίου.

Έτσι, με την ιστορία της γέννησης της επιστήμης και με τα κύρια πρόσωπα που την επηρέασαν, όλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα. Τώρα είναι η ώρα να συγκεκριμενοποιήσουμε όλα τα δεδομένα.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Πριν αγγίξουμε νόμους και θεωρήματα, αξίζει να μελετήσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Η εκδήλωση παίρνει τον πρωταγωνιστικό ρόλο σε αυτήν. Αυτό το θέμα είναι αρκετά ογκώδες, αλλά χωρίς αυτό δεν θα είναι δυνατό να κατανοήσουμε όλα τα άλλα.

Ένα συμβάν στη θεωρία πιθανοτήτων είναι οποιοδήποτε σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος. Δεν είναι τόσο λίγες οι έννοιες αυτού του φαινομένου. Έτσι, ο επιστήμονας Lotman, που εργάζεται σε αυτόν τον τομέα, είπε ότι σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για αυτό που «συνέβη, αν και μπορεί να μην είχε συμβεί».

Τα τυχαία γεγονότα (η θεωρία των πιθανοτήτων δίνει ιδιαίτερη σημασία σε αυτά) είναι μια έννοια που υπονοεί απολύτως κάθε φαινόμενο που έχει τη δυνατότητα να συμβεί. Ή, αντίθετα, αυτό το σενάριο μπορεί να μην συμβεί εάν πληρούνται πολλές προϋποθέσεις. Αξίζει επίσης να γνωρίζουμε ότι είναι τυχαία γεγονότα που αποτυπώνουν ολόκληρο τον όγκο των φαινομένων που έχουν συμβεί. Η θεωρία πιθανοτήτων δείχνει ότι όλες οι συνθήκες μπορούν να επαναλαμβάνονται συνεχώς. Ήταν η συμπεριφορά τους που ονομαζόταν «πείραμα» ή «δοκιμή».

Ένα αξιόπιστο γεγονός είναι αυτό που θα συμβεί εκατό τοις εκατό σε ένα δεδομένο τεστ. Κατά συνέπεια, ένα αδύνατο γεγονός είναι αυτό που δεν θα συμβεί.

Ο συνδυασμός ενός ζεύγους ενεργειών (υπό όρους περίπτωση Α και περίπτωση Β) είναι ένα φαινόμενο που συμβαίνει ταυτόχρονα. Αναφέρονται ως ΑΒ.

Το άθροισμα των ζευγών των γεγονότων Α και Β είναι C, με άλλα λόγια, εάν τουλάχιστον ένα από αυτά συμβεί (Α ή Β), τότε θα αποδειχθεί C. Ο τύπος για το περιγραφόμενο φαινόμενο γράφεται ως εξής: C = A + Β.

Τα ασυνεπή γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων υποδηλώνουν ότι δύο γεγονότα αλληλοαποκλείονται. Δεν μπορούν ποτέ να συμβούν ταυτόχρονα. Τα κοινά γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι οι αντίποδές τους. Αυτό σημαίνει ότι εάν το Α συνέβη, τότε δεν παρεμβαίνει στο Β.

Τα αντίθετα γεγονότα (η θεωρία των πιθανοτήτων τα εξετάζει με μεγάλη λεπτομέρεια) είναι εύκολα κατανοητά. Ο καλύτερος τρόπος για να τα αντιμετωπίσετε είναι η σύγκριση. Είναι σχεδόν τα ίδια με τα ασυνεπή γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων. Η διαφορά τους όμως έγκειται στο ότι ένα από τα πολλά φαινόμενα πρέπει να συμβεί σε κάθε περίπτωση.

Εξίσου πιθανά γεγονότα είναι εκείνες οι ενέργειες, η δυνατότητα επανάληψης των οποίων είναι ίση. Για να γίνει πιο σαφές, μπορείτε να φανταστείτε μια ρίψη νομίσματος: η πτώση της μιας από τις πλευρές του είναι εξίσου πιθανό να πέσει και της άλλης.

Ένα ευοίωνο γεγονός είναι πιο εύκολο να το δει κανείς με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι υπάρχουν το επεισόδιο Β και το επεισόδιο Α. Το πρώτο είναι η ρίψη των ζαριών με την εμφάνιση ενός περιττού αριθμού και το δεύτερο είναι η εμφάνιση του αριθμού πέντε στο ζάρι. Τότε αποδεικνύεται ότι ο Α ευνοεί τον Β.

Τα ανεξάρτητα γεγονότα στη θεωρία των πιθανοτήτων προβάλλονται μόνο σε δύο ή περισσότερες περιπτώσεις και συνεπάγονται την ανεξαρτησία μιας ενέργειας από μια άλλη. Για παράδειγμα, το Α είναι ουρές όταν πετάει ένα νόμισμα και το Β παίρνει έναν γρύλο από την τράπουλα. Είναι ανεξάρτητα γεγονότα στη θεωρία των πιθανοτήτων. Με αυτή τη στιγμή έγινε πιο ξεκάθαρο.

Τα εξαρτημένα γεγονότα στη θεωρία των πιθανοτήτων είναι επίσης αποδεκτά μόνο για το σύνολο τους. Υπονοούν την εξάρτηση του ενός από το άλλο, δηλαδή το φαινόμενο Β μπορεί να συμβεί μόνο εάν το Α έχει ήδη συμβεί ή, αντίθετα, δεν έχει συμβεί, όταν αυτή είναι η κύρια προϋπόθεση για το Β.

Το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος με ένα συστατικό είναι στοιχειώδη γεγονότα. Η θεωρία των πιθανοτήτων εξηγεί ότι αυτό είναι ένα τέτοιο φαινόμενο που συνέβη μόνο μία φορά.

Βασικοί τύποι

Έτσι, οι έννοιες του "γεγονότος", "θεωρία των πιθανοτήτων" εξετάστηκαν παραπάνω, δόθηκε επίσης ο ορισμός των βασικών όρων αυτής της επιστήμης. Τώρα είναι η ώρα να εξοικειωθείτε άμεσα με τις σημαντικές φόρμουλες. Αυτές οι εκφράσεις επιβεβαιώνουν μαθηματικά όλες τις κύριες έννοιες σε ένα τόσο περίπλοκο θέμα όπως η θεωρία των πιθανοτήτων. Η πιθανότητα ενός γεγονότος παίζει τεράστιο ρόλο και εδώ.

Καλύτερα να ξεκινήσετε με τα κύρια Και πριν προχωρήσετε με αυτά, αξίζει να εξετάσετε τι είναι.

Η συνδυαστική είναι κυρίως κλάδος των μαθηματικών, ασχολείται με τη μελέτη ενός τεράστιου αριθμού ακεραίων, καθώς και με διάφορες μεταθέσεις τόσο των ίδιων των αριθμών όσο και των στοιχείων τους, διάφορα δεδομένα κ.λπ., που οδηγούν στην εμφάνιση ενός αριθμού συνδυασμών. Εκτός από τη θεωρία πιθανοτήτων, αυτή η βιομηχανία είναι σημαντική για τη στατιστική, την επιστήμη των υπολογιστών και την κρυπτογραφία.

Έτσι, τώρα μπορείτε να προχωρήσετε στην παρουσίαση των ίδιων των τύπων και στον ορισμό τους.

Το πρώτο από αυτά θα είναι η έκφραση για τον αριθμό των μεταθέσεων, μοιάζει με αυτό:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Η εξίσωση ισχύει μόνο εάν τα στοιχεία διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά διάταξης.

Τώρα θα εξετάσουμε τον τύπο τοποθέτησης, μοιάζει με αυτό:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Αυτή η έκφραση ισχύει όχι μόνο για τη σειρά με την οποία τοποθετείται το στοιχείο, αλλά και για τη σύνθεσή του.

Η τρίτη εξίσωση από τη συνδυαστική, και είναι επίσης η τελευταία, ονομάζεται τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών:

C_n ^ m = n! : ((n - m))! : Μ!

Ένας συνδυασμός ονομάζεται επιλογές που δεν είναι ταξινομημένες, αντίστοιχα, και αυτός ο κανόνας ισχύει για αυτές.

Αποδείχθηκε εύκολο να καταλάβουμε τους τύπους της συνδυαστικής, τώρα μπορείτε να πάτε στον κλασικό ορισμό των πιθανοτήτων. Αυτή η έκφραση μοιάζει με αυτό:

Σε αυτόν τον τύπο, m είναι ο αριθμός των συνθηκών ευνοϊκών για το συμβάν Α και n είναι ο αριθμός απολύτως όλων των εξίσου δυνατών και στοιχειωδών αποτελεσμάτων.

Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός εκφράσεων, το άρθρο δεν θα καλύψει όλες, αλλά θα θιγούν οι πιο σημαντικές από αυτές, όπως, για παράδειγμα, η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων:

P (A + B) = P (A) + P (B) - αυτό το θεώρημα είναι για την προσθήκη μόνο ασυνεπών γεγονότων.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - και αυτό είναι για την προσθήκη μόνο συμβατών.

Πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - αυτό το θεώρημα είναι για ανεξάρτητα γεγονότα.

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A∣B)) - και αυτό είναι για εξαρτημένο.

Η φόρμουλα των γεγονότων θα τερματίσει τη λίστα. Η πιθανότητα μας λέει για το θεώρημα του Bayes, το οποίο μοιάζει με αυτό:

P (H_m∣A) = (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m = 1, ..., n

Σε αυτόν τον τύπο, τα H 1, H 2, ..., H n είναι μια πλήρης ομάδα υποθέσεων.

Παραδείγματα του

Εάν μελετήσετε προσεκτικά οποιοδήποτε τομέα των μαθηματικών, δεν είναι πλήρης χωρίς ασκήσεις και δείγματα λύσεων. Το ίδιο και η θεωρία των πιθανοτήτων: τα γεγονότα, τα παραδείγματα εδώ αποτελούν αναπόσπαστο στοιχείο που επιβεβαιώνει τους επιστημονικούς υπολογισμούς.

Τύπος για τον αριθμό των μεταθέσεων

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τριάντα φύλλα σε μια τράπουλα, ξεκινώντας με την ονομαστική αξία ενός. Επόμενη ερώτηση. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να στρώσετε μια τράπουλα έτσι ώστε τα φύλλα με ονομαστικές αξίες ένα και δύο να μην είναι δίπλα δίπλα;

Το πρόβλημα έχει τεθεί, τώρα ας προχωρήσουμε στην επίλυσή του. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των μεταθέσεων τριάντα στοιχείων, για αυτό παίρνουμε τον τύπο που παρουσιάζεται παραπάνω, αποδεικνύεται P_30 = 30 !.

Με βάση αυτόν τον κανόνα, ανακαλύπτουμε πόσες επιλογές υπάρχουν για να διπλώσουμε την τράπουλα με διαφορετικούς τρόπους, αλλά πρέπει να αφαιρέσουμε από αυτές εκείνες στις οποίες το πρώτο και το δεύτερο φύλλο είναι το ένα δίπλα στο άλλο. Για να το κάνουμε αυτό, ας ξεκινήσουμε με την επιλογή όταν η πρώτη είναι πάνω από τη δεύτερη. Αποδεικνύεται ότι το πρώτο φύλλο μπορεί να πάρει είκοσι εννέα θέσεις - από το πρώτο έως το εικοστό ένατο, και το δεύτερο φύλλο από το δεύτερο έως το τριάντα, βγάζει μόνο είκοσι εννέα θέσεις για ένα ζευγάρι φύλλα. Με τη σειρά τους, οι υπόλοιποι μπορούν να πάρουν είκοσι οκτώ θέσεις, και χωρίς ιδιαίτερη σειρά. Δηλαδή, για τη μετάθεση είκοσι οκτώ φύλλων, υπάρχουν είκοσι οκτώ επιλογές P_28 = 28!

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι αν σκεφτούμε τη λύση όταν το πρώτο φύλλο είναι πάνω από το δεύτερο, θα υπάρξουν 29 ⋅ 28 επιπλέον ευκαιρίες! = 29!

Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των περιττών επιλογών για την περίπτωση που το πρώτο φύλλο είναι κάτω από το δεύτερο. Αποδεικνύεται επίσης 29 ⋅ 28! = 29!

Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν 2 ⋅ 29 επιπλέον επιλογές !, ενώ υπάρχουν 30 απαραίτητοι τρόποι για να φτιάξεις ένα deck! - 2 ⋅ 29 !. Μένει μόνο να μετρήσουμε.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσετε μεταξύ τους όλους τους αριθμούς από το ένα έως το είκοσι εννέα και, στη συνέχεια, στο τέλος να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με το 28. Η απάντηση είναι 2,4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Παράδειγμα λύσης. Τύπος για τον αριθμό τοποθέτησης

Σε αυτήν την εργασία, πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τοποθετήσετε δεκαπέντε τόμους σε ένα ράφι, αλλά με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τριάντα τόμοι συνολικά.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση είναι ελαφρώς πιο απλή από ό,τι στο προηγούμενο. Χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό τύπο, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο συνολικός αριθμός τοποθεσιών από τριάντα τόμους των δεκαπέντε.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 6007

Η απάντηση, αντίστοιχα, θα είναι ίση με 202 843 204 931 727 360 000.

Τώρα ας κάνουμε το έργο λίγο πιο δύσκολο. Πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τακτοποιήσετε τριάντα βιβλία σε δύο ράφια, με την προϋπόθεση ότι μόνο δεκαπέντε τόμοι μπορούν να βρίσκονται σε ένα ράφι.

Πριν ξεκινήσω τη λύση, θα ήθελα να διευκρινίσω ότι ορισμένα προβλήματα λύνονται με πολλούς τρόπους, και σε αυτόν υπάρχουν δύο τρόποι, αλλά και στους δύο εφαρμόζεται ο ίδιος τύπος.

Σε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να πάρετε την απάντηση από το προηγούμενο, γιατί εκεί υπολογίσαμε πόσες φορές μπορείτε να γεμίσετε ένα ράφι για δεκαπέντε βιβλία με διαφορετικούς τρόπους. Αποδείχθηκε A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Το δεύτερο ράφι θα το υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο της μετάθεσης, γιατί χωράνε δεκαπέντε βιβλία, ενώ είναι δεκαπέντε συνολικά. Χρησιμοποιούμε τον τύπο P_15 = 15 !.

Αποδεικνύεται ότι το σύνολο θα είναι A_30 ^ 15 ⋅ P_15 τρόποι, αλλά, επιπλέον, το γινόμενο όλων των αριθμών από το τριάντα έως το δεκαέξι θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το γινόμενο των αριθμών από το ένα έως το δεκαπέντε, ως αποτέλεσμα, το γινόμενο από όλους τους αριθμούς από το ένα έως το τριάντα θα προκύψουν, δηλαδή η απάντηση είναι ίση με 30!

Αλλά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με διαφορετικό τρόπο - ευκολότερο. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να φανταστείτε ότι υπάρχει ένα ράφι για τριάντα βιβλία. Όλα είναι τοποθετημένα σε αυτό το αεροπλάνο, αλλά επειδή η συνθήκη απαιτεί να υπάρχουν δύο ράφια, είδαμε ένα μακρύ ένα στα μισά, βγαίνει δύο έως δεκαπέντε. Από αυτό προκύπτει ότι οι επιλογές τοποθέτησης μπορεί να είναι P_30 = 30 !.

Παράδειγμα λύσης. Τύπος για αριθμό συνδυασμού

Τώρα θα εξετάσουμε μια παραλλαγή του τρίτου προβλήματος από τη συνδυαστική. Πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τακτοποιήσετε δεκαπέντε βιβλία, με την προϋπόθεση ότι πρέπει να επιλέξετε από τριάντα ακριβώς τα ίδια.

Για τη λύση φυσικά θα εφαρμοστεί ο τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών. Από τη συνθήκη γίνεται σαφές ότι η σειρά των ίδιων δεκαπέντε βιβλίων δεν είναι σημαντική. Επομένως, αρχικά πρέπει να μάθετε τον συνολικό αριθμό συνδυασμών τριάντα βιβλίων των δεκαπέντε.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15 ! = 155 117 520

Αυτό είναι όλο. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα ήταν δυνατό να λυθεί ένα τέτοιο πρόβλημα, η απάντηση, αντίστοιχα, είναι 155.117.520.

Παράδειγμα λύσης. Κλασικός ορισμός της πιθανότητας

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, μπορείτε να βρείτε την απάντηση σε ένα απλό πρόβλημα. Αλλά θα σας βοηθήσει να δείτε και να παρακολουθήσετε οπτικά την πορεία δράσης.

Στο πρόβλημα δίνεται ότι υπάρχουν δέκα απολύτως πανομοιότυπες μπάλες στην τεφροδόχο. Από αυτά, τέσσερα είναι κίτρινα και έξι είναι μπλε. Μία μπάλα λαμβάνεται από το δοχείο. Πρέπει να μάθετε την πιθανότητα να πάρετε μπλε.

Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε την επίτευξη της μπλε μπάλας με το γεγονός Α. Αυτή η εμπειρία μπορεί να έχει δέκα αποτελέσματα, τα οποία, με τη σειρά τους, είναι στοιχειώδη και εξίσου πιθανά. Ταυτόχρονα, έξι στους δέκα είναι ευνοϊκοί για το γεγονός Α. Αποφασίζουμε με τον τύπο:

Ρ (Α) = 6: 10 = 0,6

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μάθαμε ότι η ικανότητα να φτάσει κανείς στη μπλε μπάλα είναι 0,6.

Παράδειγμα λύσης. Η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων

Τώρα θα παρουσιαστεί μια παραλλαγή, η οποία λύνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για την πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων. Έτσι, στην κατάσταση που δίνεται ότι υπάρχουν δύο κουτιά, το πρώτο περιέχει μία γκρι και πέντε λευκές μπάλες και το δεύτερο περιέχει οκτώ γκρι και τέσσερις λευκές μπάλες. Ως αποτέλεσμα, ένα από αυτά αφαιρέθηκε από το πρώτο και το δεύτερο κουτί. Πρέπει να μάθετε ποιες είναι οι πιθανότητες οι μπάλες που θα πάρετε να είναι γκρι και λευκές.

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να οριστούν συμβάντα.

• Έτσι, ο Α - πήρε την γκρίζα μπάλα από το πρώτο κουτί: P (A) = 1/6.
• A '- πήραν και μια άσπρη μπάλα από το πρώτο κουτί: P (A ") = 5/6.
• B - η γκρίζα μπάλα αφαιρέθηκε από το δεύτερο πλαίσιο: P (B) = 2/3.
• B '- πήρε μια γκρίζα μπάλα από το δεύτερο κουτί: P (B ") = 1/3.

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, είναι απαραίτητο να συμβεί ένα από τα φαινόμενα: ΑΒ 'ή ΑΒ. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε: P (AB ") = 1/18, P (A" B) = 10/18.

Ο τύπος για τον πολλαπλασιασμό της πιθανότητας έχει πλέον χρησιμοποιηθεί. Επιπλέον, για να μάθετε την απάντηση, πρέπει να εφαρμόσετε την εξίσωση της πρόσθεσής τους:

P = P (AB "+ A" B) = P (AB ") + P (A" B) = 11/18.

Έτσι, χρησιμοποιώντας έναν τύπο, μπορείτε να λύσετε παρόμοια προβλήματα.

Αποτέλεσμα

Το άρθρο παρείχε πληροφορίες για το θέμα "Θεωρία των Πιθανοτήτων", στο οποίο η πιθανότητα ενός γεγονότος παίζει σημαντικό ρόλο. Φυσικά, δεν λήφθηκαν όλα υπόψη, αλλά, με βάση το κείμενο που παρουσιάζεται, μπορείτε θεωρητικά να εξοικειωθείτε με αυτήν την ενότητα των μαθηματικών. Η εν λόγω επιστήμη μπορεί να είναι χρήσιμη όχι μόνο σε επαγγελματικές υποθέσεις, αλλά και στην καθημερινή ζωή. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε οποιαδήποτε πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος.

Το κείμενο έθιξε επίσης σημαντικές ημερομηνίες στην ιστορία της διαμόρφωσης της θεωρίας πιθανοτήτων ως επιστήμης και τα ονόματα των ανθρώπων των οποίων τα έργα επενδύθηκαν σε αυτήν. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο η ανθρώπινη περιέργεια έχει οδηγήσει στο γεγονός ότι οι άνθρωποι έχουν μάθει να υπολογίζουν ακόμη και τυχαία γεγονότα. Κάποτε απλώς τους ενδιέφερε, αλλά σήμερα όλοι το γνωρίζουν ήδη. Και κανείς δεν θα πει τι μας περιμένει στο μέλλον, ποιες άλλες λαμπρές ανακαλύψεις που συνδέονται με την υπό εξέταση θεωρία θα γίνουν. Αλλά ένα πράγμα είναι σίγουρο - η έρευνα δεν μένει ακίνητη!

Ορισμός 1. Το συμβάν Α καλείται εξαρτώμενο από το γεγονός Β εάν η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α εξαρτάται από το αν έχει συμβεί ή όχι το συμβάν Β. Η πιθανότητα να έχει συμβεί το γεγονός Α, υπό την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί το γεγονός Β, θα συμβολίζεται και θα ονομάζεται υπό όρους πιθανότητα του συμβάντος Α που υπόκειται στο V.

Παράδειγμα 1. Η λάρνακα περιέχει 3 άσπρες μπάλες και 2 μαύρες. Μια μπάλα βγαίνει από τη λάρνακα (πρώτα βγάζετε) και μετά η δεύτερη (δεύτερη εξαγωγή). Γεγονός Β - η εμφάνιση λευκής μπάλας κατά την πρώτη αφαίρεση. Γεγονός Α - η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας στη δεύτερη αφαίρεση.

Προφανώς, η πιθανότητα του γεγονότος Α, εάν συνέβη το γεγονός Β, θα είναι

Η πιθανότητα του συμβάντος L, υπό την προϋπόθεση ότι δεν συνέβη το συμβάν Β (στην πρώτη αφαίρεση, εμφανίστηκε μια μαύρη μπάλα), θα είναι

Το βλέπουμε αυτό

Θεώρημα 1. Η πιθανότητα συνδυασμού δύο γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο της πιθανότητας ενός από αυτά με την υπό όρους πιθανότητα του δεύτερου, που υπολογίζεται υπό την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί το πρώτο γεγονός, δηλ.

Απόδειξη. Η απόδειξη δίνεται για γεγονότα που ανάγονται σε ένα σχήμα bin (δηλαδή, στην περίπτωση που ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας).

Αφήστε τις μπάλες να είναι στη λάρνακα, ενώ λευκές, μαύρες. Ας υπάρχουν μπάλες σημειωμένες με αστερίσκο ανάμεσα στις λευκές μπάλες, οι υπόλοιπες είναι καθαρές λευκές (Εικ. 408).

Μία μπάλα βγαίνει από το δοχείο. Ποια είναι η πιθανότητα το γεγονός να βγάλει την άσπρη μπάλα που σημειώνεται με αστερίσκο;

Έστω Β ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση ενός (λευκή μπάλα, Α - ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση μιας μπάλας σημειωμένης με έναν αστερίσκο. Προφανώς,

Η πιθανότητα εμφάνισης μιας λευκής μπάλας με "αστερίσκο, υπό την προϋπόθεση ότι εμφανίζεται μια λευκή μπάλα, θα είναι

Η πιθανότητα εμφάνισης λευκής μπάλας με αστερίσκο είναι Ρ (Α και Β). Προφανώς,

Αντικαθιστώντας στο (5) τις αριστερές πλευρές των παραστάσεων (2), (3) και (4), παίρνουμε

Η ισότητα (1) αποδεικνύεται.

Εάν τα υπό εξέταση γεγονότα δεν ταιριάζουν στο κλασικό σχήμα, τότε ο τύπος (1) χρησιμεύει για τον προσδιορισμό της υπό όρους πιθανότητας. Δηλαδή, η υπό όρους πιθανότητα του συμβάντος Α, υπό την προϋπόθεση ότι συμβαίνει το συμβάν Β, προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας

Σημείωση 1. Ας εφαρμόσουμε τον τελευταίο τύπο στην παράσταση:

Στις ισότητες (1) και (6), οι αριστερές πλευρές είναι ίσες, αφού αυτή είναι η ίδια πιθανότητα, επομένως, οι δεξιές πλευρές είναι επίσης ίσες. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα

Παράδειγμα 2. Για την περίπτωση του Παραδείγματος 1, που δίνεται στην αρχή αυτής της ενότητας, έχουμε Με τον τύπο (1) λαμβάνουμε ότι η πιθανότητα P (Α και Β) μπορεί να υπολογιστεί εύκολα και άμεσα.

Παράδειγμα 3. Η πιθανότητα κατασκευής ενός κατάλληλου προϊόντος από αυτό το μηχάνημα είναι 0,9. Η πιθανότητα εμφάνισης ενός προϊόντος 1ης κατηγορίας μεταξύ των κατάλληλων προϊόντων είναι 0,8. Προσδιορίστε την πιθανότητα κατασκευής ενός προϊόντος 1ης τάξης με αυτό το μηχάνημα.

Λύση. Γεγονός Β - παραγωγή κατάλληλου προϊόντος από αυτό το μηχάνημα, εκδήλωση Α - εμφάνιση προϊόντος 1ης τάξης. Εδώ, αντικαθιστώντας τον τύπο (1), λαμβάνουμε την επιθυμητή πιθανότητα

Θεώρημα 2. Εάν το συμβάν Α μπορεί να συμβεί μόνο όταν συμβεί ένα από τα γεγονότα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων, τότε η πιθανότητα του γεγονότος Α υπολογίζεται από τον τύπο

Οι τύποι (8) ονομάζονται τύπος συνολικής πιθανότητας. Απόδειξη. Το συμβάν Α μπορεί να συμβεί όταν εκτελείται οποιοδήποτε από τα συνδυασμένα συμβάντα.

Επομένως, με το θεώρημα της πρόσθεσης, λαμβάνουμε

Αντικαθιστώντας τους όρους στη δεξιά πλευρά από τον τύπο (1), λαμβάνουμε την ισότητα (8).

Παράδειγμα 4. Τρεις διαδοχικές βολές εκτελέστηκαν στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε την πρώτη βολή με τη δεύτερη με την τρίτη Με ένα χτύπημα, η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με δύο χτυπήματα, με τρία χτυπήματα Προσδιορίστε την πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με τρεις βολές (γεγονός Α).

Λύση. Εξετάστε την πλήρη ομάδα ασυνεπών γεγονότων:

Υπήρχε ένα χτύπημα.